Relatorio

Etapa 2

Introdução

Aprendemos desde cedo a lidar com operações matemáticas, e a utilizar máquinas calculadoras, veremos que o mau uso das máquinas de calcular, em algumas profissões, pode ocasionar erros irreparáveis.
Ao trabalhar com essas máquinas, vemos que os resultados para uma mesma operação podem variar por conta de arredondamentos que são programados nelas, gerando erros de exatidão.
A disciplina de cálculo numérico nos ensina a lidar e trabalhar com percentual de erros, através do Sistema de Numeração e Erros que aborda o “ponto flutuante”, “erros absolutos e relativos” que também nos levam aos erros por “arredondamento” e “truncamento”.


Passo 1

Relatório 2 – Sistemas de Numeração e Erros.

A matemática e suas operações surgem em nossas vidas desde muito cedo, e desde cedo somos condicionados ao uso de máquinas calculadoras que nos auxiliam a encontrar os resultados para as mais diversas operações matemáticas, porém devemos rever alguns conceitos sobre a utilização dela, pois veremos que em algumas ocasiões e principalmente em algumas profissões os maus usos das máquinas de calcular podem gerar erros irreparáveis.
Ao trabalhar com máquinas de calcular notamos que elas limitam algumas das operações realizadas, ou seja, elas não representam todos os números de um dado intervalo [a, b] e são pré-programadas para arredondar as operações que são feitas nelas, podendo assim, a partir da mesma função gerar vários resultados diferentes.
A disciplina de cálculo numérico nos ensina a lidar e trabalhar com percentual de erros, nela encontramos o Sistema de Numeração e Erros que abordam o ponto flutuante, erros absolutos e erros relativos que também nos levam aos erros por arredondamento e truncamento. O nosso primeiro passo antes de falar de erros é conhecer um pouco o ponto flutuante, que é uma representação baseada no deslocamento da vírgula de forma que se obtenha um número menor ou próximo de 1.
Esse deslocamento é feito por meio de notação científica, ou seja:
O apresentamos o número 43, 236 (exemplo) em notação ele corresponde ao

0, 43236 x 10².

Vamos conhecer um pouco melhor o ponto flutuante:
d = mantissa x β^e
Mantissa - são os algarismos a serem trabalhados.
β - base.
e - expoente (será representado pelo número de casas que o ponto anda).
t - determina o número de algarismos da mantissa.
Exemplo:


Ao se determinar que F = (β, t, m, M);
onde – m ≤ e ≤ M. (determina o valor mínimo e máximo que os expoentes devem chegar)

Teremos:

F = (10, 3, 1, 3) onde -1 ≤ e ≤ 3

X¹ = 248.55 → X¹ = 0.248 x 10³ – dessa forma, descartamos os dois últimos algarismos (55), pois ultrapassa o número de t determinado, e temos um expoente positivo pelo ponto andar à esquerda.
X² = 0.0274 → X² = 0.274 x 10-¹ – Nesse caso retiramos o 0 e colocamos o expoente negativo pelo ponto ter andado uma casa à direita.
Podemos encontrar também o seguinte caso:

F = (10, 3, 1, 3) onde -1 ≤ e ≤ 3

X¹ = 55416.64 → X¹ = 0.554 x – Dessa forma não pode ser representado, ocorre o Overflow, que é o sobrefluxo dos expoentes, ou seja, valor fora do que foi determinado.

X² = 0.0029358 → X² = 0.293 x 10-² – Nesse caso retiramos o 0 e colocamos o expoente negativo pelo ponto ter andado duas casas à direita, ocorre o Underflow, ou seja, o sub fluxo dos expoentes, valor fora do que foi determinado.
Após a transformação dos números em ponto flutuante encontraremos duas situações de erros que são os absolutos e relativos:
Erro Absoluto é quando há diferença entre o valor exato e do valor aproximado.
Erro Relativo é o quociente entre o erro absoluto de um número e seu valor aproximado.

Que nos levará aos erros por arredondamento e truncamento:
Sendo X = 572.97, obtemos os seguintes resultados:

Por arredondamento, onde; X = 0.572x 10³ + 0.97 x 10º
Neste caso quando o número após a 4ª casa/dígito é ≥ 5 acrescentamos/somamos 1 a casa anterior, porém se for ≤ 4 mantemos o número da casa anterior.
Dessa forma; X = 0.573

Por truncamento, onde; X= 0.572 x 10³ e 0.97 x 10º

Utilizaremos agora o número restante, ou seja, deixamos de lado o 0.572 x 10³ e usamos o 0.97 x 10º
Então nosso X a ser trabalhado será; X = 0.97

Essas operações são comuns em nossas vidas, mas as vezes, por não saber como lidar com elas utilizou calculadoras e computadores para nos ajudar a resolver da melhor forma possível, ou seja, chegar a um valor mais aproximado do que seria o exato.


















Observar os dois casos apresentados abaixo:

Caso A

Uma professora de matemática da 1ª série do ensino médio pediu a três alunos da classe que calculassem a área de uma circunferência de raio igual a 120 metros. Os seguintes valores foram obtidos, respectivamente, pelos alunos João, Pedro e Maria: 45.216 2 m ; 45.239,04 2 m e 45.238,9342176 2 m .

Caso B

Marcelo obteve a seguinte tabela após o cálculo dos somatórios: e :

Ferramenta de Cálculo


Calculadora
15.000
3.300
Computador
15.000
3.299,99691










Conclusão do Caso A

Analisando o “Caso A”, e considerando que não houve erro algum por parte dos alunos na utilização da fórmula da área de uma circunferência e nem na substituição do valor do raio, chegamos a conclusão que devido à possibilidade de utilizar diversas formas para o arredondamento, por se empregar o valor de π, vezes o raio (R) elevado ao quadrado ( ² ), A = x R², João, Pedro e Maria chegaram a resultados diferentes, porém, não incorretos como podemos observar a seguir;


No primeiro resultado, João utilizou como representação de π, o valor de 3,14, com apenas duas casas após a vírgula, tal que:
A = x R²
A = 3,14 x 120²
A =3,14 x 14.400
A = 45.216 m²

No segundo resultado, Pedro usou como representação de , o valor de 3,1416 com quatro casas após a vírgula, assim:
A = x R²
A = 3,1416 x 120²
A = 3,1416 x 14.400
A = 45.239,04 m²

E no terceiro resultado, Maria usou como representação de , o valor de 3,141592654, com 9 casas após a vírgula, dessa forma temos;
A = x R²
A = 3,141592654 x 120²
A = 3,141592654 x 14.400
A = 45.238,9342176 m²
Conclusão do Caso B


Ao analisarmos o “Caso B”, vimos que os resultados conseguidos se deram porque a programação da calculadora usada estava calibrada para trabalhar com números decimais.
Enquanto que o computador foi programado para executar cálculos com números binários, onde, qualquer dado que é introduzido nos mecanismos de entrada, como o teclado do computador, é convertido para número binário, transformado e trabalhado para se encontrar o resultado e novamente convertido em número decimal para ser visualizado pelo usuário, através de um mecanismo de saída, tal como o monitor do computador.






Passo 2

Desafio proposto

Numa máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tem base 10; 5 dígitos na mantissa e expoente no intervalo [− 6 ,6 ], pode se afirmar que:
I – o menor e maior número em módulo nesta representação são dados de forma respectiva por: 0,1 x e 0,99999 x ;
II – usando o arredondamento, o número 123456 será representado por 0,12346 x e se for usado o truncamento, o mesmo número será representado por 0,12345 x ;
III – se x = 4 e y = 452700, o resultado de x + yserá 0,4 x




Passo 3

Tendo (10, 5, -6, 6) na Mantissa - 6 ≤ e ≤ 6. Afirmamos que:

I – o menor e maior número em módulo nesta representação é dado de forma respectiva por: 0,1 x e 0, 99999 x;
A afirmação está correta, pois encontramos um possível número de ponto fixo, que foi passado para ponto flutuante, onde encontramos o resultado, tal que:
X¹ = 0.0000001 = 0,1 x e X² = 999999.9 = 0,99999 x

II – usando o arredondamento, o número 123456 será representado por 0,12346 x e se for usado o truncamento, o mesmo número será representado por 0,12345 x ;
A afirmação está correta, porque utilizando o arredondamento, que possibilitou somar o número 1 ao número anterior ao t determinado; e quando utilizado o truncamento pudemos manter apenas os números determinados por t, quando passamos para ponto flutuante, temos X = 123456, dado por;
Arredondamento: Truncamento:
X = 0,12346 x X = 0,12345 x


III – se x = 4 e y = 452700, o resultado de x + y será 0,4 x ;
A afirmação está errada, pois ao realizar a somatória, alinhando os decimais encontramos:

x = 0.00004 x e y = 0.45270 x
x + y → (0.00004 + 0.45270) x → 0.45274 x






Conclusão do Número Parcial do Código de Barras Palíndromo

Associar o número 0, se a afirmação I estiver certa.
Associar o número 1, se a afirmação I estiver errada.
Associar o número 0, se a afirmação II estiver certa.
Associar o número 1, se a afirmação II estiver errada.
Associar o número 1, se a afirmação III estiver certa.
Associar o número 0, se a afirmação III estiver errada.

Após a conclusão da etapa 2 e realização dos cálculos encontramos os seguintes números parciais do código de barras palíndromo:
000

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