SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO

LUCAS ISAAC THIAGO COUTO MATEUS GONÇALVES

SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA

MACAÉ - RJ 28 DE SETEMBRO DE 2016

---

Ondas

Onda é um movimento causado por uma perturbação que pode se propagar através de um meio ou no vácuo.

Elas podem ser classificadas em relação à natureza, quanto a ondas mecânicas (precisam de um meio material para propagação) e ondas eletromagnéticas (não precisam de um meio material para propagação). Quanto à forma, em ondas longitudinais (propagação na mesma direção do movimento) e transversais (propagação perpendicular à direção do movimento). Quanto a direção, as ondas podem ser unidimensionais (movimento em uma única direção), bidimensionais (se propaga em um plano) e tridimensionais (propagação em todas direções espaciais).

Equação da onda

Nesse trabalho iremos focar nas ondas mecânicas com vibrações livres para estudar uma possível solução analítica para a equação da onda, esta equação é escrita como uma Equação Diferencial Parcial (EDP) de segunda ordem.

A equação da onda é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem que descreve a propagação das ondas. Ela surge em áreas como a acústica, eletromagnetismo e áreas de engenharia, como construção civil, estudos sísmicos.

Vamos começar a análise das equações de ondas, partindo do princípio das pequenas vibrações de uma corda perfeitamente flexível. Para deduzir a equação diferencial, a qual deve satisfazer a função u (x, t), que representa a posição do ponto x da corda no instante t, utilizamos a lei de Newton: “a derivada com relação ao tempo da quantidade de movimento do corpo é igual à soma das forças aplicadas”. Vamos aplicar essa lei ao sistema mecânico constituído por um trecho da corda entre dois pontos arbitrários x=a e x=b.

Designado por p (x, t) a densidade da corda vemos, inicialmente, que a hipótese das partículas se deslocarem apenas em direção normal a x.

Analisando a figura de exemplo a quantidade de movimento da corda entre a e b é:

(1)

---

Tendo como base a densidade e a velocidade no ponto x.

Em relação as forças e partindo do princípio que analisaremos as vibrações sem forças externas, temos que pensar nas forças de tensão na direção da tangente das forças a e b.

Usando a lei de Newton, e lembrando que não há quantidade de movimento na direção x temos:

(2)

De onde se conclui que o componente horizontal da tensão é independente do ponto x e é função apenas do tempo t, usemos para ela a notação T(t). Assim, a resultante vertical das forças de tensão atuando sobre o trecho da corda entre os pontos da abcissa a e b é:

(3)

Utilizando a lei de newton do enunciado e se baseando em vibrações livres (sem forças externas) temos:

(4)

Ou seja:

α2u

xx

= u

tt

,

Sendo que

(5)

Para resolver esse problema temos que analisar as condições de fronteira e condições iniciais e mostrar o uso da série de Fourier juntamente com o método da separação de variáveis. Supondo-se que as extremidades permanecem fixas, logo as condições de fronteira são u (0, t) = 0, u (L, t) = 0, t≥ 0.Em relação as condições inicias representadas pelo deslocamento inicial da corda u(x,0), e o modo como a corda e abandonada nessa posição, que é traduzido pela velocidade inicial u t

(x, 0). Logo temos:

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L (6)

u t (x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L (7)

Vemos que o problema da corda vibrante finita, estudada para entendimento da equação das ondas consiste em determinas uma função u (x, t) para, 0≤ x≤L, t≥ 0 que satisfaça à equação das ondas, ás condições de fronteira e as condições iniciais. Vamos utilizar o método de Fourier, mas primeiramente temos que usar o método de separação de variais para determinar funções

que satisfaçam a equação das ondas e às equações de fronteira e as iniciais. Assim, substituindo na equação das ondas temos: