SISTEMAS LINEARES

1- SISTEMAS LINEARES

1.1 - EQUAÇÃO LINEAR

Equação linear é toda equação da forma:

a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b

em que a1, a2, a3, ... , ansão números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

x1, x2,x3, ... , xn, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Veja alguns exemplos de equações lineares:

• 3x - 2y + 4z = 7 • -2x + 4z = 3t - y + 4

• (homogênea)

As equações a seguir não são lineares:

• xy - 3z + t = 8 • x2- 4y = 3t - 4 •

1.2 - SISTEMA LINEAR

Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r1, r2, r3,..., rn) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

1.3 - MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

• matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

• matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

1.4 - SISTEMAS HOMOGÊNEOS

Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

Veja um exemplo:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

1.5 - CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES

Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:

a) possível e determinado (solução única); b) possível e indeterminado (infinitas soluções); c) impossível (não tem solução).

1.6 - SISTEMA NORMAL

Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

1.7 - REGRA DE CRAMER

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

1.8 - DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

a) possível e determinado, se D=det A 0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e Dxi 0, 1 i n; caso em que o sistema não tem solução.

Exemplo:

Como D=0 e Dx 0, o sistema é impossível e não apresenta solução.

1.9 - SISTEMAS EQUIVALENTES

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

e

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2.

1.10 - PROPRIEDADES

a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.