Servo Mecanismo: Definições e notações de matrizes

26/02/2016 Controle e Servo Mecanismo

Matrizes

Definições e notações de matrizes

1. Matriz

A =   m x n [pic 1]

Al  Se m=n

Matriz quadrada

1. Vetor

B =   n x 1[pic 2]

C =   1 x n[pic 3]

1. Matriz particionada

A =                      [pic 4][pic 5][pic 6]

A11 =                     A 12 = [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

A21 =                     A22 = [pic 11][pic 12][pic 13]

1. Matriz nula

A = [pic 14]

1. Matriz diagonal ( quadrada)

A = [pic 15]

aij = 0               para i ≠ j

1. Matriz identidade (diagonal)

A = [pic 16]

aij = 1      para  i = j

aij = 0      para i ≠ j

A= representado por ‘I’

1. Matriz simétrica (quadrada)

A = [pic 17]

aij = aji

1. Matriz transposta

Representada por AT

Troca-se os elementos das linhas pelos elementos das colunas

A =  4 x 3     [pic 18]

AT 3 x 4[pic 19]

1. Determinante de uma matriz quadrada

Representado por detA ou   I   I

A =  =  = detA = a11 a22 – a21 a12[pic 20][pic 21]

1. Determinante maior complementar

Representado por Mij, do elemento aij do determinante da matriz  A é o determinante formado pela remoção da i-ésima linha e da j-ésima coluna do detA

detA = [pic 22]

M32 =  = -36[pic 23]

        

1. Cofator de um elemento

Representado por Cij do elemento aij de detA é definido como

Cij = (-1)(i+j)Mij

C21 = (-1)(2+1)M21 = (-1)3  = -25[pic 24]

1. Cálculo do determinante de uma matriz quadrada

Pode ser calculado pela expansão menores complementares de qualquer linha ou coluna

Linha:  detA = [pic 25]

Coluna: detA = [pic 26]

Onde

m = n° de linhas da matriz A

n =   n° de colunas da matriz A

i = i-ésima linha selecionada para expansão dos menores

j = ésima coluna selecionada para expansão dos menores

Cik  ͢  Cofator de aik

Ckj ͢ cofator de akj

A= [pic 27]

Expansão pelos menores da 2ª linha

detA = -(-5)  +6  – (-7)  = -195[pic 28][pic 29][pic 30]

Expansão pelos menores da 3ª coluna

detA = 2  – (-7)  + 4  = -195[pic 31][pic 32][pic 33]

1. Matriz singular

Se determinante não for  igual a zero

1. Matriz não singular

Se determinante não for  igual a zero

1. Adjunta de uma matriz (quadrada)

Representada por adjA é a matriz formada pela transposta da matriz A após todos os seus elementos serem substituídos por seus cofatores

                                                            T

adj A = [pic 34]

A =  Cij = (-1) i+jMij[pic 35]

adjA =  [pic 36][pic 37][pic 38]

adjA =                    adjA = [pic 39][pic 40][pic 41]

1. Posto de uma matriz

É igual ao número de linha ou colunas linearmente independentes pode ser obtido pela determinação da submatriz quadrada de ordem mais alta que seja não singular

A = [pic 42]

detA = 0 (nulo; zero), então, A é singular, logo o posto não é 3 escolha arbitraria de uma submatriz

A =    detA = 27  então A é não singular, logo o posto é 2[pic 43]

Operações com  matrizes

1. Adição

A + B = C

aij + bij = cij

As  matrizes  A e B devem ter a mesma ordem m x n

 + = [pic 44][pic 45][pic 46]

1. Subtração

A – B = C

aij – bij = cij

 -  [pic 47][pic 48][pic 49]

1. Multiplicação

AB = C

Cij = [pic 50]

Restrições: A multiplicação só pode ser realizada se o nº de colunas de A for igual ao n° de linhas de B.

A =  2 x 3 x B =  3 x 3[pic 51][pic 52]