Teorema de Freudentein

Resumo

Conhecido amplamente por ser o Pai da Cinemática moderna de mecanismos e máquinas, Ferdinand Freudenstein (1926 - 2006) publicou em 1954 uma tese, baseada em pesquisas realizadas por ele e seus alunos, onde tem influenciado a prática relacionada com a análise e desenho de mecanismos e máquinas em todo o mundo, tanto acadêmico quanto industrial. Neste artigo, veremos a tese de Freudenstein e a equação que leva seu nome. A equação Freudenstein resulta de uma abordagem analítica para a análise e concepção de mecanismos de quatro link (ligação/articulação) que, juntamente com as suas variantes, estão presentes em um grande número de máquinas utilizadas na vida diária.

1. Introdução

Mecanismos e máquinas têm sido usadas desde os tempos antigos para reduzir o esforço humano, e, desde a Revolução Industrial, eles entraram e impactaram quase todos os aspectos da sociedade humana. Em sua descrição mais simplista, um mecanismo é um conjunto de links rígidos (ou barras) conectados por articulações que permitem o movimento relativo entre as ligações conectadas. Uma ligação (de entrada) do mecanismo aciona uma outra ligação (saída), podendo assim realizar um desejado movimento.

Um dos primeiros exemplos conhecidos de um mecanismo linear está ligado a J. Watt. Este mecanismo projetado por James Watt tinha a finalidade de puxar e empurrar o pistão-haste em um motor de dupla atuação a vapor que tinha inventado, que é creditado ter começado a Revolução Industrial.

Nos tempos modernos, os mecanismos estão presentes em uma grande variedade de aparelhos, dispositivos e sistemas - em abridores de garrafa de cortiça, em bicicletas, no sistema de abertura do portão da garagem, no sistema de travagem da direção de um carro, em equipamentos de construção, em naves espaciais, para implantar painéis solares, em instrumentos cirúrgicos laparoscópicos, joelhos protéticos artificiais e outros dispositivos médicos, por exemplo. Nos últimos 50 anos mecanismos têm sido combinado com eletrônica avançada, sensores, sistemas de controle e tecnologias de computação, e este casamento resultou em dispositivos como robôs, sistemas micro–eletromecânicos (MEMS) e outros produtos chamados inteligentes.

No século XIX, e antes de 1950, a maioria das análises de mecanismos e design foram feitos graficamente. Durante a década de 1950 computadores e algoritmos para calcular estavam sendo rapidamente desenvolvidos nos EUA e em outros lugares. Freudenstein estava entre as primeiras pessoas a perceber o potencial dos computadores para análise e desenho de mecanismos e de máquinas, e sua abordagem analítica encaixava perfeitamente bem com as tecnologias de computação em rápido desenvolvimento.

1. Antes de Freudenstein

Considere o mecanismo mostrado na Figura 1. É composto de três barras rígidas móveis ou ligações e um caixilho fixo. Como mostrado na Figura 1, dois elos sucessivos são ligados por uma junção giratória que permite a rotação relativa entre eles. Ao utilizar geometria, pode ser mostrado que para comprimentos de ligação conhecida a, b, c, d, e para um ângulo de rotação conhecido em qualquer junta rotativa, o mecanismo de quatro-ligação pode ser totalmente descrita; – com isso queremos dizer que a posição e orientação de todos os elos do mecanismo pode ser completamente determinado e o mecanismo pode ser desenhado em uma folha de papel comum.

Os passos, para realizar uma ligação no caso de o ângulo Φ ser conhecido entre a estrutura AB, são os seguintes: com A, tal como o centro, desenhar um arco circular de raio b. Marcar o ponto B no arco circular de tal modo que a linha AB faz o ângulo Φ determinado com o caixilho fixo 1. Com D como o centro, desenhar um arco circular de raio d. Com o ponto B como centro, e desenhar um arco circular de raio c. Os dois arcos circulares centradas em B e D podem se cruzar no máximo em dois pontos possíveis – sendo estes denotados por C e C'. Os dois possíveis mecanismos de quatro ligações para os comprimentos link fornecido e ângulo Φ são ABCD e ABC'D como mostrado na figura.

[pic 1]

Figura 1: Um mecanismo de quatro-ligação que mostra duas configurações possíveis em um determinado Φ

Na linguagem da cinemática de mecanismos, o mecanismo de ligação de quatro-barras tem um grau de liberdade 2 e é possível obter uma descrição completa do mecanismo de quatro ligações quando a rotação em qualquer junta rotativa é dada. Antes de 1954, o método predominante para obter a duas rotações possíveis, a ligação de saída DC, ψ, para uma determinada entrada de rotação, Φ, da ligação AB, e foi essencialmente semelhante ao procedimento descrito acima. Freudenstein em 1954 introduziu então uma expressão algébrica simples e elegante, relativa ao ângulo de entrada Φ e o ângulo de saída ψ em termos dos comprimentos de ligação, a, b, c, e d.

Além de resolver o problema de análise, ou seja, obter valores de ψ para um dado comprimento Φ, é também muitas vezes de grande importância para a engenharia para projetar um mecanismo de quatro ligações que pode dar valores desejado (s) de ψ para determinados valore (s) de Φ.

Para projetar um mecanismo desse tipo, precisamos determinar os comprimentos de ligação e outras variáveis de projeto. Antes do trabalho de Freudenstein existia abordagens gráficas para o projeto de mecanismos de quatro-barras, onde as características desejadas poderiam ser satisfeitas em um número finito de configurações, também chamados de pontos de precisão, na gama de movimento do mecanismo. Os pontos de precisão e esforço foram feitos para minimizar o erro em outras configurações. O design é tipicamente feito por três ou quatro pontos de precisão.

1.  Abordagem Analítica de Freudenstein

Em contraste com a abordagem gráfica, Freudenstein desenvolveu uma abordagem analítica para análise e projeto de mecanismos quatro ligações. Em sua tese, ele apresenta uma equação relacionadas a rotação dos ângulos Φ e ψ em termos da ligação dos comprimentos a, b, c e d. A equação escalar, que agora é conhecido como Equação de Freudenstein, essencialmente, é a condição para o conjunto das ligações (também chamados de restrição loop-fechamento) em um mecanismo de quatro-ligação em um determinado Φ. Nós seguimos o desenvolvimento da equação de Freudenstein usando a figura 2 que tem a figura 1 como referência.