Teorema de Green

Introdução

O teorema de Green é uma ferramenta muito útil no cálculo de áreas de figuras planas fechadas, as vezes é mais fácil obter uma integral dupla em uma região e, às vezes, é mais fácil obter uma integral de linha em torno do limite. O teorema de Green faz a conexão entre os dois para que possamos ir e voltar. Além da relação com a integral de linha o teorema de Green é um caso especial do Teorema de Kelvin-Stokes quando é aplicado a uma região no plano-xy.

O teorema de Green é uma ferramenta da matemática utilizada para cálculos de       áreas de figuras planas limitadas e fechada, além disso seu princípio de formulação  de outros teoremas , suas aplicações são extensas e extremamente úteis nas áreas da física, química, nas engenharias, geologia e etc.

Teorema fundamental do calculo (TFC):

Fazendo uma analogia sobre TFC. Se F(x) tem derivada continua em[a,b]⊂ℝ então:

∫abF'(x)dx=F(b)−F(a)

TFC relaciona a integral da derivada de uma função em um domínio, no caso, um intervalo fechado, com valores da função na fronteira deste domínio. O teorema de Green também vai relacionar uma integral de área com os valores da fronteira, ou seja, com integral de linha.

Teorema de Green

O teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla na região D delimitada por C.

Orientação positiva significa que a região fica a esquerda ao percorrermos a curva. No exemplo acima, percorremos a curva C no sentido anti-horário!

O teorema de Green é um importante teorema de calculo diferencial  vetorial de dimensão 2,este teorema reduz o trabalho quando fazemos algumas integrais demoradas. O Teorema de Green, transforma uma integral dupla (no plano XoY, por exemplo) numa integral de linha (contorno da região de integração) ou vice-versa.

Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por partes, orientada positivamente e seja D a região delimitada por C. Se P e Q tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contém D, então:

∫CPdx+Qdy=D(∂Q∂x−∂P∂y)dA.

Como todo resultado em matemática que garante a igualdade entre duas expressões, sua utilização passa por trocar uma mais difícil por uma mais fácil. Qual será a mais difícil e qual será a mais fácil pode variar de casa a caso.

Uma aplicação interessante é trocar integrais de linha que pareçam muito complicadas por outras mais simples, e eventualmente incluir um termo que venha de integral dupla, um calculo direto é possível, porém muito chato.

 Conclusão

Existem várias maneiras de calcular figuras geométricas regulares como a do quadrado, retângulo, etc.,as outras áreas irregulares são mais difíceis para se calcular, no entanto, com as ferramentas certas pode ser bem mais fácil o cálculo destas áreas.