Trabalho de Calculo Vetorial e Geometria Analítica

1 RETA

1.1 RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS

  A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa pelos pontos A e B e tem sua direção definida pelo vetor , Esse conceito será fundamental para a compreensão das partes seguintes do presente trabalho. [pic 1]

1.2 EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA

        Um dos axiomas da geometria euclidiana é o de que uma reta é formada por vários pontos, levando isso em consideração para um ponto P pertencer a uma reta R, a qual tem sua direção indicada por um vetor não nulo , é necessário que o vetor , formado por um ponto qualquer A que passa pela reta R e pelo ponto P, seja colinear a ao vetor diretor . È possível expressar essa condição na seguinte equação (Sendo B um número real que se encontra entre +e -) :[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

 [pic 7]

        Essa equação, que recebe a denominação de equação vetorial da reta, pode ainda ser escrita da seguinte forma:

 [pic 8]

1.3 EQUAÇÕES PARAMETRICAS DA RETA

        Equações são equações com a função de representar a mesma reta, cada uma servindo para representar uma coordenada de um ponto de pertencente a reta, essas equações são ligadas por uma mesma incógnita B que é chamada de parâmetro.

        Para obter a equação paramétrica da reta R que passa pelo ponto  A(1,4,12) e tem a mesma direção do vetor V = 5i + 3j + 8k deve-se usar a equação vetorial da seguinte forma (Sendo P um ponto genérico pertencente a reta e que possui coordenadas (x,y,z)) :

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

1.4 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA

        Essas equações são obtidas quando as incógnitas das equações paramétricas são isoladas, desenvolvendo as equações simétricas da equação paramétrica utilizada na seção 1.3 obtém-se o seguinte:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

        O que pode ser escrito como:

[pic 15]

1.4.1 EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DE UMA RETA DETERMINADA POR DOIS PONTOS

No caso de uma reta determinada pelos dois pontos A (4,8,12) e B (3,6,9) as equações simétricas serão:

[pic 16]

        Pode-se observar nessas equações as mesmas podem ser generalizadas da seguinte forma:

[pic 17]

1.4.2 CONDIÇÃO PARA QUE TRÊS PONTOS ESTEJAM EM LINHA RETA

        Para que os pontos A, B e C estejam em linha reta os vetores AB, AC e BC devem ser colineares.

1.5 EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA

        As equações reduzidas da reta são obtidas igualando duas equações simétricas e isolando uma das incógnitas da seguinte maneira:

[pic 18]

        Considerando   como sendo a, e  como sendo b, obtém-se o seguinte:[pic 19][pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

        Considerando  como sendo m:[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

        Escrevendo  como sendo igual a n, obtém-se a forma generalizada da equação reduzida: [pic 26]

[pic 27]