Zero De Funções

Localização de Raízes Isoladas

A localização dos zeros pode ser feita através de um gráfico ou de uma tabela da função f. Graficamente os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo dos x.

Exemplos:

Para a localização dos zeros com o auxilio da tabela, é útil o teorema de Bolzano:

“Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a,b] . Se f (a). f (b) < 0 , então existe pelo menos um ponto x =α entre a e b que é zero de f (x) .”

Observação: Se f(x) para vários valores de x faz-se analise das mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal.

Exemplo: f(x) = x³ - 9x + 3

Sabendo que f(x) e continua para qualquer x real, obtém-se os intervalos que contem pelo menos um zero:

[-5, -3], [0,1] e [2,3]

Observação: Se f(a).f(b)>0 então podemos ter varias situações no intervalo [a,b].

Isso mostra que a análise gráfica da função f (x) é muito importante para se obter as aproximações da raiz. Para isso pode ser aplicado um dos processos:

Esboçar o gráfico e localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo dos x ;

A partir da equação f (x) = 0 obter uma equação equivalente g(x) = h(x) , esboçar os gráficos e localizar onde as curvas se interceptam. Nesse caso f (α) = 0 ⇔ g(α) = h(α) .

Exemplo: Utilizar o método da equação equivalente para localizar os zeros das seguintes funções:

1) f (x) = x3 − 9x + 3

f (x) = x3 − 9x + 3 = 0 ⇔ x3 = 9x – 3

Considerando g(x) = x3 e h(x) = 9x − 3 obtém-se os gráficos que indicam a existência de um zero da função f(x) = x³ - 9x + 3 no intervalo (0,1).

Processos Iterativos

Existe um grande número de métodos numéricos que são processos iterativos. Como o próprio nome já diz, esses processos se caracterizam pela repetição de uma determinada operação. A ideia nesse tipo de processo é repetir um determinado cálculo várias vezes, obtendo-se a cada repetição ou iteração um resultado mais preciso que aquele obtido na iteração anterior. E, a cada iteração utiliza-se o resultado da iteração anterior como parâmetro de entrada para o cálculo seguinte.

Alguns aspectos comuns a qualquer processo iterativo, são:

 Estimativa inicial: como um processo iterativo se caracteriza pela utilização do resultado da iteração anterior para o cálculo seguinte, a fim de se iniciar um processo iterativo, é preciso que se tenha uma estimativa inicial do resultado do problema. Essa estimativa pode ser conseguida de diferentes formas, conforme o problema que se deseja resolver;

 Convergência: a fim de se obter um resultado próximo do resultado real, é preciso que a cada passo ou iteração, o resultado esteja mais próximo daquele esperado, isto é, é preciso que o método convirja para o resultado real. Essa convergência nem sempre é garantida em um processo numérico. Portanto, é muito importante se estar atento a isso e realizar a verificação da convergência do método para um determinado problema antes de tentar resolvê-lo;

 Critério de Parada: obviamente não podemos repetir um processo numérico infinitamente. É preciso pará-lo em um determinado instante. Para isso, devemos utilizar um certo critério, que vai depender do problema a ser resolvido e da precisão que precisamos obter na solução. O critério adotado para parar as iterações de um processo numérico é chamado de critério de parada.

Para encontrarmos as raízes ou zeros de uma função iremos utilizar métodos numéricos iterativos. Como já mencionado, o primeiro passo para se resolver um processo iterativo corresponde a obtenção de uma estimativa inicial para o resultado do problema. No caso de zeros de funções, usamos a operação chamada de isolamento de raízes, que veremos na seção seguinte.

Isolamento de Raízes

Para determinarmos o número e a localização aproximada de raízes de uma função, a fim de obtermos uma estimativa inicial a ser usada nos processo iterativos, podemos examinar o comportamento dessa função através de um esboço gráfico.

Por exemplo, seja uma função f(x) tal que:

f( x ) = g( x ) - h( x ) (4.2)

As raízes de f(x), são tais que:

g( x ) – h (x ) = 0 (4.3)

ou ainda:

g( x ) = h (x ) (4.4)

Assim, os valores de x em que o gráfico g(x) intercepta o gráfico de h(x) é a raiz de f(x).

Exemplo:

Dada a função f(x) = sen(x) - [-cos( x )], encontrar os intervalos que contenham raízes entre 0 e 2 .

Partindo de f(x)=0, segue que:

sen( x ) – [-cos( x )] = 0

e que

sen( x ) = -cos( x )

Fazendo os gráficos de sen(x) e -cos(x) temos:

Critérios de Parada em um Processo Iterativo

Foi usado, até o momento, o seguinte critério de parada:

Onde é o intervalo que contêm a raiz da função após k iterações.

No entanto, se tivermos uma função do seguinte tipo:

Podemos estar satisfazendo (1) e, entretanto, f(x0) pode ser muito maior que zero. Assim, em certos casos pode-se usar a

seguinte condição:

O critério acima pode levar a um número muito grande de iterações. Uma maneira de se contornar este problema é tomar como um critério de parada adicional, um certo número de iterações máximo.

Método