Еstudo da teoria das probabilidades

PROBABILIDADES

Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da

incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou

para a orientação de intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com

problemas envolvendo o imprevisível. A probabilidade teve o inicio de seus estudos nos jogos

de azar Vejamos agora alguns conceitos importantes para o estudo da teoria das

probabilidades:

Experimento Aleatório: É todo experimento que produz resultados imprevisíveis, dentre os

possíveis, mesmo quando repetido em semelhantes condições. Ex: No lançamento de um dado

honesto, pode-se obter os resultados 1, 2, 3, 4 ,5 e 6, ou seja, o resultado é incerto.

Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado

experimento aleatório. Indicaremos por U. Vejamos alguns exemplos

Lançamento de um dado honesto: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }

Lançamento de uma moeda: U = { cara, coroa}

Sexo de um recém nascido: U = {masculino, feminino}

Evento: É todo subconjunto do espaço amostral relacionado a um experimento aleatório.

Considere o experimento aleatório, do lançamento de um dado honesto U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6},

vejamos agora os seguintes eventos:

A : Um número par , A = {2, 4, 6}

B : Um número par e primo, B = {2} ( evento simples ou elementar)

C: Um número maior que 6, C = Ø (evento impossível)

D: Um número menor que 7, D = {1,2,3,4,5,6} (evento certo) D = U

E : Um número menor ou igual 4 e F: um número maior ou igual a 4. Então: E = { 1,2,3,4} e

F = { 4,5,6}, observe que E U F = U , logo, E e F são chamados de eventos complementares.

Indicaremos o complementar de um evento A por Ā

G: Um número menor que 3 e H: um número maior que 3. Então: G ={1,2} e H = {4,5,6},

observe que G ∩ H = Ø, logo, G e H são chamados de eventos mutuamente exclusivos.

PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO

Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se

probabilidade do evento A o número P(A) tal que:

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS:

Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então:

P(A U B) = P( A ) + P( B ) – P (A ∩ B)

Se A ∩ B = ø , teremos:

P(A U B) = P( A ) + P( B )

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR:

Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então:

P(A) + P(Ā) = 1 ou P(Ā) = 1 – P(A)

n(U) de nº elementos do espaço amostral U

n(A) de nº elementos do evento A

, onde :

( )

( )

( )

=

=

=

n U

n A

P AApostila Introdução a Probabilidades - Elaborada pelo Prof. Carlinhos

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MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES:

Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes de modo

que:

- O 1º evento é A e sua probabilidade é P(A);

- O 2º evento é B e sua probabilidade é P(B);

- O 3º evento é C e sua probabilidade é P(C);

- O n-ésimo evento é N e sua probabilidade é P(N), então a probabilidade de os eventos A, B,

C e N ocorram nessa ordem é:

P = P( A ). P( B ). P( C )...P(N)

PROBABILIDADE CONDICIONAL:

Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A

sabendo-se que ocorreu ou vai ocorrer o evento B, e é dada por:

P(A/B) = n( A ∩ B ) / n ( B)

EXEMPLOS

1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter um número múltiplo de

3.

SOLUÇÃO:

O espaço amostral é U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U) = 6

A ocorrência de um múltiplo de 3 é A = {3, 6},