Trabalho de MMC sobre conjuntos

Trabalho de MCC

1 Conjuntos        

1. Defina, de exemplos e explique de forma clara e objetiva cada um dos conceitos abaixo:

(a) Definição: Conjunto, conjunto finito e conjunto infinito.

-Definição: Conjunto: uma coleção de objetos, utilizando, letra minúscula, para representar o conjunto e letra(s) maiúscula(s) para representar seu(s) objeto(s), estando os elementos entre chaves. A ordem dos elementos não é considerada. O símbolo ∈  designa a pertinência em um conjunto. Assim, a ∈ A significa que a pertence ao conjunto A.E que b ɇ A que não pertence ao conjunto A.

Exemplo: Conjunto dos números inteiros, conjunto dos números racionais.

   

-Definição: Um conjunto A é conjunto finito se A=∅ ou se existis n ∈ N(naturais) e uma bijeção f: In →X. Neste caso, A tem n elementos.

Exemplo: Sejam a, b, c, ∈ A → A={a,b,c}={c,a,b}={b,c,a}

-Definição: Um conjunto B é infinito se não for finito.

Exemplo:Conjunto dos números naturais, conjunto dos números reais.

(b) Subconjunto e subconjunto próprio.

-Definição: Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto C qualquer pertencem a um outro conjunto D, diz-se, então, que C é um subconjunto de D, ou seja C[pic 1]D.

Exemplo: Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja [pic 2], o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja [pic 3]

-Definição:Subconjunto próprio: B é um subconjunto próprio de A se B ⊂ A e A é diferente de B.

Exemplo: O conjunto dos números inteiros é subconjunto próprio do conjunto dos números reais.

(c) Definição:Conjunto das partes: Seja B, um conjunto, então o conjunto das partes de B, P(B), é constituído por todos os subconjuntos possíveis de se formar a partir de B, onde P(B)=2n, sendo n, o número de elementos de B.

Exemplo:B={2,3,5}, então P(B)=23 =8={ ∅,{2},{3},{5},{2,3},{2,5},{3,5},{2,3,5}}.

(d) Definição:Igualdade de conjuntos: Sendo D e E  dois conjuntos, D = E somente quando, 

D é subconjunto de E, ou E é também subconjunto de D ou seja  A ⊂ B e B ⊂ A. 

 

Exemplo: A = {x Є N |x < 7} e B={0,1,2,3,4,5,6}, portanto A=B.

(e1) Definição: União de conjunto: Dado dois conjuntos D e E, a união deles é o conjunto formado por todos os elementos pertencentes à D e E. (D U E): { x Є D ou x Є E}.

Exemplo: União do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais é igual ao conjunto dos números reais.

(e2)Definição: Interseção de conjunto: Tendo um conjunto universo(U) e dois conjuntos C e D , a interseção de C e D é dada pelo conjunto dos elementos que pertencem tanto a C como a D:

 C ∩ D={x Є U|x Є C e x Є D}.

Exemplo:C={x Є  R|x2 ˂  9} e D={x Є R|x + 2 ˂  3} → C ∩ D ={x Є R|-3 ˂  x  ˂  1}

(f)  Definição: Complemento de um conjunto: Sendo A contido em um conjunto universo(U), o complemento de A em U, Ᾱ ou AU, como o conjunto de todos os elementos de U que não pertencem a A.

Exemplo: seja U=R e B={x Є R, x2 ˂ 16} → AR={ x Є R|x ˂ -4 ou x ˃ 4}.

(g) Definição:Produto cartesiano. O produto cartesiano de dois conjuntos A e B são todos os pares ordenados (x, y), sendo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.

Exemplo:Sejam os conjuntos A={2,4,}, chamado de conjunto de partida e chegando no conjunto B={2,3},

chamado de conjunto de chegada. O Produto cartesiano, A X B= {(2,2),(2,3),(4,2),(4,3)}.

(h) Definição: Cardinalidade de um conjunto: Seja S um conjunto finito onde n Є N*  tal que f: In→S, é uma bijeção. Assim o número n é chamado o “número de elementos”, “número cardinal” ou “Cardinalidade de um conjunto”. Em um conjunto finito S, sempre podemos designar um elemento como sendo o primeiro, s1, um outro como o segundo s2, e assim por diante. Se existem k elementos no conjunto, eles podem ser listados na ordem selecionada: s1, s2, ..., sk. Logo, esse conjunto tera a cardinalidade k  E representa o conjunto todo. O numero de elementos em um conjunto finito é a cardinalidade do conjunto.

 

Exemplo:f: In→S →f(1)=x1,  f(2)=x2,...,f(n)=xn . Assim S={ x1, x2,..., xn},com In={1,2,...,n} para n Є N.

-Definição:Conjunto enumerável(contável): um conjunto S é enumerável se S é finito e existe uma bijeção  de N*em S:f:N* → S.  Se o conjunto for infinito, se puder selecionar um  elemento, s1, um  s2, e assim por diante, de modo que a lista s1, s2, s3, ..., que represente todos os elementos do conjunto.Então esse conjunto infinito e dito enumerável. Tanto conjuntos finitos quanto os enumeráveis são conjuntos contáveis.Ser contável não significa que podemos dizer qual o número total de elementos no conjunto, mas sim, que podemos dizer quem e o primeiro, o segundo e assim por diante.