A Gabarito Parênteses, Subfórmulas e Valoração

Lógica Proposicional (Sintaxe) – Exercício 1

Questão 2) Coloque parênteses de acordo com a precedência dos conectivos.

b) p ∨ q ∨ t → m ∧ r ∧ t

Resolução:

Primeiro, devemos lembrar da ordem de prioridade dos sinais: 1º)¬        2º)∧        3º)∨        4º)→

Assim, começaremos pelos ∧, já que não há negações nesta fórmula, ficando assim:

p ∨ q ∨ t → ((m ∧ r) ∧ t)                Como há uma sequência de ∧, colocaremos os parênteses do ∧ da esquerda para direita.

((p ∨ q) ∨ t) → ((m ∧ r) ∧ t)        Partindo para os ∨, seguiremos a mesma regra, colocando os parênteses primeiro nos ∨ mais à esquerda.

((p ∨ q) ∨ t) → ((m ∧ r) ∧ t)        Aqui a resposta, pois não precisamos colocar os parênteses mais externos.

Lógica Proposicional (Semântica) – Exercícios 2

Questão 1) Calcule todas as subfórmulas da fórmula abaixo e a sua complexidade. Lembre de colocar os parênteses certos para facilitar.

a)(p ∧ q) → (r → r ∨ p) ∧ (q → p) ∨ r

Resolução:

Primeiro, colocaremos os parênteses para facilitar, ficando com a fórmula:                                       (p ∧ q) → (((r → (r ∨ p)) ∧ (q → p)) ∨ r)

Após isso, faremos a árvore de análise para calcular as subfórmulas:

Obs: caso este método não seja visto em aula, não precisa fazer por ele.

[pic 1]

Após isso, devemos ir circulando de baixo para cima as subfórmulas e anotando-as, lembrando de descartar as repetidas:

[pic 2]

[pic 3]

Ficando com as seguintes subfórmulas:

Subf:{p, q, r, r ∨ p, p ∧ q, q → p, r → (r ∨ p), (r → (r ∨ p)) ∧ (q → p), ((r → (r ∨ p)) ∧ (q → p)) ∨ r, (p ∧ q) → (((r → (r ∨ p)) ∧ (q → p)) ∨ r)}

Por fim, para calcularmos a complexidade da fórmula, basta contar o número de folhas e nós da árvore de análise que montamos (tudo que está circulado, como na imagem abaixo), que são todos os conectivos e átomos, ficando com 15.

[pic 4]

Questão 2) Responda o valor de verdade das seguintes fórmulas considerando a valoração dada.

(a)         (p ∨ q) ∧ (q ∨ r) → (r ∨ q) ∧ (p ∨ r)
        v(p) = 1, v(q) = 0, v(r) = 0

Resolução:

Antes de mais nada, devemos colocar os parênteses, ficando assim:

        ((p ∨ q) ∧ (q ∨ r)) → ((r ∨ q) ∧ (p ∨ r))

Inicialmente, podemos trocar os átomos por seus valores na fórmula, ficando com:

        ((1 ∨ 0) ∧ (0 ∨ 0)) → ((0 ∨ 0) ∧ (1 ∨ 0))

Para ajudar na análise, colocaremos os parênteses:

        ((1 ∨ 0) ∧ (0 ∨ 0)) → ((0 ∨ 0) ∧ (1 ∨ 0))

Após isso, vamos analisar os lados da implicação, pela esquerda:

        (1 ∨ 0) ∧ (0 ∨ 0)

        (1 ∨ 0) retorna 1

        (0 ∨ 0) retorna 0

        portanto, ((1 ∨ 0) ∧ (0 ∨ 0)) retornará 0

O lado direito da implicação ficará:

        (0 ∨ 0) ∧ (1 ∨ 0)

        (0 ∨ 0) retorna 0

        (1 ∨ 0) retorna 1

        portanto, (0 ∨ 0) ∧ (1 ∨ 0) retornará 0

Ou seja, a implicação está com a característica de 0 → 0, com retorno 1. Assim, o valor de verdade da fórmula é 1.

Também podemos utilizar uma tabela verdade para chegar à resposta:

...