A Matemática discreta

Quantos colares podemos formar usando 4 contas todas diferentes?

P(n-1)!

P(4-1)!

P = 3!

P = 6/2 = 3

Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtém permutando-se os algarismos 2, 3, 4, 8 9, que lugar ocupa o número 43 892?

primeiras posições:

2 _ _ _ _ -> P(4) = 24

3 _ _ _ _ -> P(4) = 24

4 2 _ _ _ -> P(3) = 6

4 3 2 _ _ --> P(2) = 2

4 3 8 2 _  -> P(1) = 1

4 3 8 9 _ -> P(1) = 1

Logo a posição ocupada é:  24 + 24 + 6 + 2 + 1 + 1 = 58

De quantas formas podemos escolher 4 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar em conta a ordem delas, de modo que em cada escolha haja pelo menos um rei?

C52,4 =     C52,4 =     C52,4 =   [pic 1][pic 2][pic 3]

 C52,4 =      C52,4 = 270,725  [pic 4]

se cada agrupamento deve conter pelo menos 1 rei, vamos subtrair no resultado anterior a quantidade de agrupamentos em que NÃO exista um rei.

C48,4 =     C48,4 =     C48,4 =   [pic 5][pic 6][pic 7]

 C52,4 =      C48,4 = 194580[pic 8]

logo o agrupamentos de 4 cartas em que tenha pelo menos 1 rei fica: 270725 – 194580 = 76,145

Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 Matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:

1. nenhum membro seja Matemático.

C15,10 =     C15,10 =    C15,10 =   [pic 9][pic 10][pic 11]

C15,10 =    C15,10 = 3003[pic 12]

1. todos os Matemáticos participem da comissão.
2. haja exatamente um Matemático na comissão.
3. pelo menos um membro da comissão seja Matemático.

Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode dar um passo de cada vez, para norte (N) ou para leste (L). Partindo da origem e passando pelo ponto A(3, 1), quantas trajetórias existem até o ponto B(5, 4)?

Seja L o número de passos para o leste e N o número de passos para o norte.
Para ir da origem ao ponto (3, 1) deverá efetuar os deslocamentos LLLN, não necessariamente nesta ordem. Para ir de (3, 1) a (5, 4) deverá efetuar os deslocamentos LLNNN, também, não necessariamente nesta ordem.
Para o deslocamento da origem até (3,1) são possíveis P43 = 4!/3! = 4 tipos de caminhos.
Para o deslocamento de (3, 1) a (5, 4) são possíveis P53,2 = 5!/3!.2! = 5.4/2 = 10.
Como deve ir da origem a (3,1) e de (3,1) a (5, 4) são possíveis 4 x 10 = 40 trajetos.