A Teoria de Conjuntos

Conjuntos e Notações

1-  Conjuntos Numéricos

(a) Números Naturais

 N = {0, 1, 2, 3, ... }

(b) Números Inteiros

 Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z

(c) Números Racionais

 - São aqueles que podem ser expressos na forma de fração a / b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={ a / b com a e b pertencentes a Z com b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar o : –1/2, 1, 2,5 ,...

 -Números decimais exatos são racionais, por exemplo:

        0,1 = 1/10

        2,3 = 23/10 ...

 - Números decimais periódicos também são racionais, por exemplo:

         0,1111... = 1/9

         0,3232 ...= 32/99

         2,3333 ...= 21/9

         0,2111 ...= 19/90

 (d) Números Irracionais

 - São aqueles que não podem ser expressos na forma de fração a / b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

 -São compostos por dízimas infinitas não periódicas, por exemplo:

  [pic 1]
  [pic 2] 

(e) Números Reais 

 - É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

Resumindo:

[pic 3] 
         [pic 4]

2. Conceitos de Conjuntos

Notação de relação de elemento para conjunto

∈	pertence
∉	não pertence

Notação de relação de conjunto para conjunto

⊂	está contido
⊄	não está contido
⊆	está contido ou é igual
⊃	contém
⊃	contém ou é igual

Exemplo1: Descrição de conjuntos 

(1) Os conjuntos abaixo são descritos por lista:

1. S = {2, 5, 17,27}.

1. S = { 0, 1, 2, 3, 4, .......}.

(2) Os conjuntos abaixo são descritos por propriedade:

1. S = { x ⏐ x é um dos estados do Brasil }.

1. S = { x ⏐ x ∈ Ζ e  x > 4}.

Exemplo 2: Conjuntos Contáveis ou Discretos e Conjuntos não Contáveis

1. Conjuntos Contáveis ou Discretos (podem ser descritos por uma lista)

1. S = {2, 5, 17,27}.

1. Conjuntos não Contáveis (não podem ser descritos por listas)

1. S = { x ⏐ x ∈ ℜ e  x > 4}
2. S = {x ⏐ x ∈ Ζ e  x > 4}.
3. ℜ.

Exemplo 3: Conjuntos Finitos e Infinitos

(1) Conjuntos Finitos (possuem um número finito de termos)

1. S = {2, a, 3, b, 4, c}.

1. S = { x ⏐ x ∈ Ζ e  4< x < 10}.

(2) Conjuntos Infinitos (possuem um número infinito de termos)

1. S = { x ⏐ x ∈ Ζ e  x > 4 }.

1. S = { 2, 4, 6, 8, .......}

Exemplo 4: Relação de pertinência ( de elemento para conjunto)

(a) Seja S = {2, 5, 17, 27}.

1. 2 ∈ S.
2. 2 + 5 ∉ S

(b) – 0, 84 ∈ Q.

(c) [pic 5]  ∉  Q.

Exemplo 5: Relação entre conjuntos (de conjunto para conjunto)

Sejam os conjuntos A = {1, 7, 9, 15}, B= {7, 9} e C ={ 7, 9, 15, 20} .As seguintes proposições são verdadeiras :

(a) B ⊆ C          (b) B ⊆ A            (c) B ⊂ A         (d) A ⊄ C             (e) ∅ ⊆ C

Exemplo 6: Igualdade entre conjuntos

Os conjuntos A= {a, a, b, b} e B = {a, a, b} são iguais. Observe que todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B e vice-versa.

Exemplo 7: Conjuntos de Conjuntos

Seja o conjunto S = {0, 1}. Então o conjunto das partes de S é dado por

℘(S) = { ∅, {0}, {1}, {0, 1}}.

3. Álgebra dos Conjuntos

Notação da Álgebra dos Conjuntos

∪	união
∩	interseção
A’	complemento do conjunto A
A - B	conjunto diferença entre A e B
A x B	Produto cartesiano de A e B

Identidades básicas envolvendo conjuntos

U é o conjunto Universo

1a)   A ∪ B = B ∪ A	1b)  A ∩ B = B ∩ A	comutatividade
2a)  (A ∪ B )∪ C =        A ∪ (B ∪ C)	2b)  (A ∩ B ) ∩ C =        A ∩ (B ∩ C)	associatividade
3a)  A ∪ (B ∩ C) =        (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)	3b)  A ∩ (B ∪  C) =        (A ∩  B) ∪ (A ∩ C)	distributividade
4a)  A ∪ ∅ = A	4b)  A ∩ U = A	elemento neutro
5a)  A ∪ A’ = U	5b)  A ∩ A’ = ∅	propriedade do complemento