ATPA Matematica Aplicada IV

Sumário

ETAPA 1        

Passo 1        

Passo 2        

Passo 3        

Passo 4        

ETAPA 2        

Passo 1        

Passo 2        

Passo 3        

Passo 4        

ETAPA 3        

Passo 1        

Passo 2        

Passo 3        

Passo 4        

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ETAPA 1

Aula tema: Conceitos básicos de teoria de conjuntos. Álgebra de conjuntos.  

 Esta atividade é importante para que você perceba conceitos matemáticos implícitos em aplicações e atividades diversas, além de desenvolver sua habilidade em trabalhar matematicamente com conjuntos.  Para realizá-la é importante seguir os passos descritos.  

PASSOS  

Passo 1

Ler o texto e façam as atividades a seguir.  O sudoku é um jogo de lógica que, em princípio, não requer cálculos nem habilidade aritmética. Mas, nem por isso o jogo deixa de propor problemas matemáticos interessantes. Regra: A versão mais comum contém 81 casas (distribuídas em nove linhas e nove colunas), agrupadas, por sua vez, em nove quadrados menores (subgrades) com nove casas cada um. O jogo começa com algumas casas já preenchidas por números, cabendo ao jogador completar as casas restantes com algarismos de 1 a 9, de modo que nenhum deles se repita na mesma coluna ou linha, nem dentro da mesma subgrade – ver Figura 1

                                              [pic 2] 

                                                Figura 1. Sudoku em configuração inicial.  

Existem vários métodos para resolvê-lo, mas cada quebra-cabeça tem uma única solução. O desafio proposto é usar um método que envolva conjuntos para determinar a gama de possibilidades de preenchimento de cada casa.  

Método proposto: Considerem uma casa fixa sem preencher. Ao eliminar os outros algarismos que aparecem na mesma coluna, na mesma linha ou na mesma subgrade, é possível que sobre uma única possibilidade, com a qual a casa deve ser preenchida.  

Desta forma, considerar: cada linha é um conjunto Li, i=1,2,...,9 o Li={x |x é um inteiro e 1 ≤ x ≤ 9} o Li= Lj, ou seja, x (x  Li x Lj)  (x  Lj  x  Li) cada coluna é um conjunto Ci, i=1,2,...,9 o Ci={x |x é um inteiro e 1 ≤ x ≤ 9} o Ci= Cj, i,j=1,2,...,9, ou seja, x (x Ci x Cj)  (x Cj x Ci) cada subgrade é um conjunto Si, i=1,2,...,9 o Si={x |x é um inteiro e 1 ≤ x ≤ 9} o Si= Sj, i,j=1,2,...,9, ou seja, x (x  Si  x  Sj)  (x  Sj  x Si) o os conjuntos Li, Ci e Si, i=1,2,...,9, são iguais, isto é, x (x  Li  x Ci)  (x  Ci  x Li) (x  Li  x  Si)  (x  Si  x  Li)(x  Ci  x  Si)  (x  Si  x Ci)  

Tendo em vista que a Figura 1 apresenta os conjuntos em sua configuração inicial, pede-se para cada conjunto representado no sudoku (linhas, colunas e subgrades) o conjunto inicial e o seu complemento.  

U = {y ∈ N|1 ≤ y ≤ 9} = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

c = complementar (Ex = cL1)

Linhas:

L1 = {8,6}        cL1 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ L1} = {1,2,3,4,5,7,9}

L2 = {9}                cL2 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ L2} = {1,2,3,4,5,6,7,8}

L3 = {6,4,2}        cL3 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ L3} = {1,3,5,7,8,9}

L4 = {8,1}        cL4 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ L4} = {2,3,4,5,6,7,9}

L5 = {1,2}        cL5 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ L5} = {3,4,5,6,7,8,9}

L6 = {9,4}        cL6 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ L6} = {1,2,3,5,6,7,8}

L7 = {8,3,1}        cL7 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ L7} = {2,4,5,6,7,9}

L8 = {9}                cL8 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ L8} = {1,2,3,4,5,6,7,8}

L9 = {2,5}        cL9 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ L9} = {1,3,4,6,7,8,9}

Colunas:

C1 = {2}                cC1 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ C1} = {1,3,4,5,6,7,8,9}

C2 = {8,1}        cC2 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ C2} = {2,3,4,5,6,7,9}

C3 = {9,6,5}        cC3 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ C3} = {1,2,3,4,6,7,8}

C4 = {1,8}        cC4 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ C4} = {2,3,4,5,6,7,9}

C5 = {4,3}        cC5 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ C5} = {1,2,5,6,7,8,9}

C6 = {2,9}        cC6 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ C6} = {1,3,4,5,6,7,8}

C7 = {1,8,9}        cC7 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ C7} = {2,3,4,5,6,7}

C8 = {2,4}        cC8 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ C8} = {1,3,5,6,7,8,9}

C9 = {6}                cC9 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ C9} = {1,2,3,4,5,7,8,9}

Subgrades:

S1 = {9,6}        cS1 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ S1} = {1,2,3,4,5,7,8}

S2 = {4,2}        cS2 = {x ∈ N|x ∈ U ^ x ∉ S2} = {1,3,5,6,7,8,9}