Algoritmo II- Sistema Lineares

Sistemas de equações lineares e Excel

Definição de sistemas de equações lineares

Um sistema linear de equações é um conjunto de equações envolvendo duas, ou mais variáveis. Exemplos deste tipo de sistema estão abaixo.

Tipo de sistema	Representação matemática
sistema linear duas equações e duas incógnitas	[pic 1]
sistema linear de três equações e três incógnitas	[pic 2]

Para que estes sistemas possam ser resolvidos no Excel, todos os conceitos abordados anteriormente deverão ser utilizados, bem como a representação destes sistemas em termos de matrizes. Este será o objetivo a seguir.

Sistemas lineares no contexto de matrizes

Todo sistema linear pode ser representado como um produto de matrizes. Os coeficientes que acompanham cada incógnita, para cada equação, são os números dispostos na primeira linha da matriz chamada matriz dos coeficientes. As incógnitas formam uma matriz coluna, chamada de matriz de incógnitas. Os termos independentes, geralmente dispostos à direita do sinal de igual, formam uma matriz coluna chamada de matriz de termos independentes. Os exemplos a seguir, correspondendo aos exemplos anteriores, são apresentados na representação matemática e também matricial, para comparação.

Representação matemática	Representação matricial
[pic 3]	[pic 4]
[pic 5]	[pic 6]

Para que estes sistemas possam ser resolvidos é importante compreender como isolar a matriz de variáveis e obter o resultado do sistema. Para tanto, deve-se nomear estas matrizes e efetuar operações matriciais básicas. Considere o exemplo correspondente a primeira entrada da tabela acima.

Se [pic 7][pic 8], [pic 9][pic 10] e [pic 11][pic 12], então o sistema pode ser reescrito como [pic 13][pic 14] A solução corresponde à matriz [pic 15][pic 16]. Multiplica-se ambos os lados por [pic 17][pic 18] (matriz inversa de [pic 19][pic 20]). Assim, tem-se:

[pic 21]

Portanto, conclui-se que obter a resposta ( a matriz [pic 22][pic 23] implica em duas operações básicas:

1. Obtenção da matriz inversa de [pic 24][pic 25] (caso seja possível sua obtenção, ou seja, [pic 26][pic 27])
2. Multiplicação da matriz inversa de [pic 28][pic 29] por [pic 30][pic 31]

Estas duas operações podem ser realizadas facilmente no Excel. Este será o próximo passo apresentado a seguir.

Solução de sistemas lineares a partir do Microsoft Excel

Considere o exemplo anterior apresentado. Inicialmente, devem-se representar as matrizes coeficiente e de termos independentes no Excel. Veja a seguir.

Representação Matricial	Representação no Excel
[pic 32]	[pic 33]
[pic 34]	[pic 35]

Os passos para obter a solução são os apresentados a seguir:

1. Verificar se a matriz de coeficientes [pic 36][pic 37] pode ser inversível, ou seja, se [pic 38][pic 39]

1. Para tanto, selecione uma célula qualquer que conterá o determinante
2. na barra de funções digite =MATRIZ.DETERM, conforme apresentado abaixo:

[pic 40]

1. Escolha a matriz de coeficientes como argumento da função MATRIZ.DETERM efetuando uma seleção das células que correspondem à matriz [pic 41][pic 42] (observe que um tracejado piscante estará ao redor da matriz)

[pic 43]

1. Digite Enter. O resultado neste caso é -3, portanto valida a possibilidade de inversão da matriz [pic 44][pic 45].

1. Obter a matriz inversa de [pic 46][pic 47], ou seja, [pic 48][pic 49]

1. Primeiro, selecione uma região qualquer da planilha que conterá a matriz inversa. Sendo [pic 50][pic 51], a região deverá conter duas linhas e duas colunas, conforme representada abaixo

[pic 52]

1. Na barra de funções, digite =MATRIZ.INVERSA, veja a seguir

[pic 53]

1. Selecione a matriz [pic 54][pic 55] com o mouse e marque todos os elementos. Veja abaixo

[pic 56]

1. Digite Ctrl+Shift+Enter. O resultado está abaixo.

[pic 57]

Esta é a matriz inversa [pic 58][pic 59].

1. Efetue o produto entre [pic 60][pic 61] e [pic 62][pic 63]. Para tanto, primeiro, selecione um par de células dispostas em coluna, pois o produto entre [pic 64][pic 65] e [pic 66][pic 67] é uma matriz [pic 68][pic 69]. Veja abaixo.

[pic 70]

1. Os passos para realizar este produto já foram apresentados anteriormente. O resultado é

[pic 71]

Portanto, o resultado final é

[pic 72]

Exercício

1. Resolva o seguinte sistema de três equações e três incógnitas

[pic 73]

Resposta: [pic 74][pic 75]

Ainda para o problema anterior, verifique que a resposta é verdadeira, ou seja, através de matrizes multiplique a matriz de coeficientes pela matriz de resposta e verifique que deverá ser a matriz dos termos independentes.