A Teoria de Conjuntos
Por: Lu_1993 • 15/9/2015 • Artigo • 2.065 Palavras (9 Páginas) • 330 Visualizações
Conjuntos e Notações
1- Conjuntos Numéricos
(a) Números Naturais
N = {0, 1, 2, 3, ... }
(b) Números Inteiros
Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
Todo número natural é inteiro, isto é, N é um |
(c) Números Racionais
- São aqueles que podem ser expressos na forma de fração a / b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.
Q ={ a / b com a e b pertencentes a Z |
Assim como exemplo podemos citar o : –1/2, 1, 2,5 ,...
-Números decimais exatos são racionais, por exemplo:
0,1 = 1/10
2,3 = 23/10 ...
- Números decimais periódicos também são racionais, por exemplo:
0,1111... = 1/9
0,3232 ...= 32/99
2,3333 ...= 21/9
0,2111 ...= 19/90
(d) Números Irracionais
- São aqueles que não podem ser expressos na forma de fração a / b, com a e b inteiros e b diferente de 0.
-São compostos por dízimas infinitas não periódicas, por exemplo:
[pic 1]
[pic 2]
(e) Números Reais
- É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.
Resumindo:
[pic 3]
[pic 4]
2. Conceitos de Conjuntos
Notação de relação de elemento para conjunto
∈ | pertence |
∉ | não pertence |
Notação de relação de conjunto para conjunto
⊂ | está contido |
⊄ | não está contido |
⊆ | está contido ou é igual |
⊃ | contém |
⊃ | contém ou é igual |
Exemplo1: Descrição de conjuntos
(1) Os conjuntos abaixo são descritos por lista:
- S = {2, 5, 17,27}.
- S = { 0, 1, 2, 3, 4, .......}.
(2) Os conjuntos abaixo são descritos por propriedade:
- S = { x ⏐ x é um dos estados do Brasil }.
- S = { x ⏐ x ∈ Ζ e x > 4}.
Exemplo 2: Conjuntos Contáveis ou Discretos e Conjuntos não Contáveis
- Conjuntos Contáveis ou Discretos (podem ser descritos por uma lista)
- S = {2, 5, 17,27}.
- Conjuntos não Contáveis (não podem ser descritos por listas)
- S = { x ⏐ x ∈ ℜ e x > 4}
- S = {x ⏐ x ∈ Ζ e x > 4}.
- ℜ.
Exemplo 3: Conjuntos Finitos e Infinitos
(1) Conjuntos Finitos (possuem um número finito de termos)
- S = {2, a, 3, b, 4, c}.
- S = { x ⏐ x ∈ Ζ e 4< x < 10}.
(2) Conjuntos Infinitos (possuem um número infinito de termos)
- S = { x ⏐ x ∈ Ζ e x > 4 }.
- S = { 2, 4, 6, 8, .......}
Exemplo 4: Relação de pertinência ( de elemento para conjunto)
(a) Seja S = {2, 5, 17, 27}.
- 2 ∈ S.
- 2 + 5 ∉ S
(b) – 0, 84 ∈ Q.
(c) [pic 5] ∉ Q.
Exemplo 5: Relação entre conjuntos (de conjunto para conjunto)
Sejam os conjuntos A = {1, 7, 9, 15}, B= {7, 9} e C ={ 7, 9, 15, 20} .As seguintes proposições são verdadeiras :
(a) B ⊆ C (b) B ⊆ A (c) B ⊂ A (d) A ⊄ C (e) ∅ ⊆ C
Exemplo 6: Igualdade entre conjuntos
Os conjuntos A= {a, a, b, b} e B = {a, a, b} são iguais. Observe que todo elemento do conjunto A pertence ao conjunto B e vice-versa.
Exemplo 7: Conjuntos de Conjuntos
Seja o conjunto S = {0, 1}. Então o conjunto das partes de S é dado por
℘(S) = { ∅, {0}, {1}, {0, 1}}.
3. Álgebra dos Conjuntos
Notação da Álgebra dos Conjuntos
∪ | união |
∩ | interseção |
A’ | complemento do conjunto A |
A - B | conjunto diferença entre A e B |
A x B | Produto cartesiano de A e B |
Identidades básicas envolvendo conjuntos
U é o conjunto Universo
1a) A ∪ B = B ∪ A | 1b) A ∩ B = B ∩ A | comutatividade |
2a) (A ∪ B )∪ C = A ∪ (B ∪ C) | 2b) (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) | associatividade |
3a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) | 3b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) | distributividade |
4a) A ∪ ∅ = A | 4b) A ∩ U = A | elemento neutro |
5a) A ∪ A’ = U | 5b) A ∩ A’ = ∅ | propriedade do complemento |
...