A Matematica Financeira

Matemática financeira

A matemática financeira utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros em geral.

Os problemas clássicos de matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo (juro e inflação) e como isso é aplicado a empréstimos, investimentos e avaliação financeira de projetos.

O tema também pode de ser aplicado a precificação de ações e de derivativos, mas esse tipo de aplicação não é tratada neste artigo.

Conceitos[editar | editar código-fonte]

Principal, Capital ou Valor Presente: Valor que está sendo emprestado ou investido.

Juro: Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%).

Saldo: É a soma do Principal com o Juro em um determinado momento.

Parcela ou Pagamento: Valor pago pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento).

Juros compostos[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Juro

Em geral, os problemas tratados pela matemática financeira consideram o regime de juros compostos ao invés de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é : [1]

{\displaystyle FV=PV(1+i)^{n},}

ou, invertendo os termos,

{\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+i)^{n}\,}},}

onde

{\displaystyle FV:}  Valor Futuro (do inglês Future Value)

{\displaystyle PV:}  Valor Presente (do inglês Present Value)

{\displaystyle i:}  Taxa de juros (do inglês Interest Rate)

{\displaystyle n:}  Número de períodos

Fórmulas e aplicações[editar | editar código-fonte]

Número fixo de pagamentos de mesmo valor[editar | editar código-fonte]

Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número fixo (n) de pagamentos de mesmo valor (pmt)

Esse pode ser o caso de financiamento de um bem de consumo, como o exemplo descrito na seção Exemplo de aplicação acima. [1]

O valor {\displaystyle pmt}  de cada parcela (ou pagamento periódico) pode ser considerado como o Valor Futuro ( {\displaystyle FV} ) relativo a essa parcela. Portanto, a parcela do 3º mês, por exemplo, pode ser trazida a Valor Presente através da seguinte fórmula:

{\displaystyle PV_{3}={\frac {pmt}{(1+i)^{3}\,}}}

Nesse caso, o Valor Presente ( {\displaystyle PV} ) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas:

{\displaystyle PV=\sum _{k=1}^{n}{\frac {pmt}{(1+i)^{k}\,}}}

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica, chega-se a:

{\displaystyle PV={\frac {pmt}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}

ou, invertendo os termos,

{\displaystyle pmt={\frac {PVi}{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}}}

Esse exemplo considera que o primeiro pagamento ocorre 1 período depois do primeiro fluxo. Ou seja, entre {\displaystyle PV}  e {\displaystyle pmt_{1}}  existe um período. Caso o primeiro pagamento ocorra no período 0 (zero) ou depois de 1 período, a fórmula precisa ser adaptada.

Número infinito de pagamentos de mesmo valor[editar | editar código-fonte]

Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número infinito de pagamentos de mesmo valor (pmt)

Esse pode ser o caso de investimento que remunera um valor constante todo período, como, por exemplo, um título pré-fixado de dívida do governo. [2]

Da mesma forma como o exemplo anterior, o Valor Presente ( {\displaystyle PV} ) total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas, porém, considerando {\displaystyle n=\infty .}  Aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, chega-se a:

{\displaystyle PV={\frac {pmt}{i}}}

Pagamentos não periódicos ou de valores diferentes[editar | editar código-fonte]

No caso de pagamentos diferentes em cada período, não é possível fazer essas simplificações. É necessário somar o Valor Presente de cada pagamento. [2]

Avaliação financeira de projetos[editar | editar código-fonte]

Projetos de investimento, como a abertura de uma loja, compra de uma máquina ou construção de uma estrada requerem um investimento financeiro inicial e é esperado que gerem resultado financeiro positivo ao longo do tempo. A matemática financeira ajuda a avaliar se o resultado esperado compensará o investimento inicial. [1]

Nesses casos, costuma-se usar uma notação um pouco diferente da que foi usada nesse artigo até aqui:

{\displaystyle CF}  ou {\displaystyle FC:}  Fluxo de Caixa (Cash Flow em inglês). Valor monetário esperado em determinado período. Pode ser interpretado como o resultado financeiro (lucro) trazido pelo projeto em determinado mês ou ano.

{\displaystyle CF_{0}}  ou {\displaystyle FC_{0}:}  Costuma ser usado para identificar o Investimento Inicial, que é feito no momento 0 (zero). Valor monetário a ser investido no projeto ao iniciá-lo. Normalmente é um valor negativo, caracterizando-o como uma despesa.

{\displaystyle NPV}  ou {\displaystyle VPL:}  Valor Presente Líquido (Net Present Value em inglês). Soma do investimento inicial com os demais fluxos de caixa trazidos a valor presente.

{\displaystyle NPV=CF_{0}+{\frac {CF_{1}}{(1+i)}}+{\frac {CF_{2}}{(1+i)^{2}}}+{\frac {CF_{3}}{(1+i)^{3}}}+\cdots }

A taxa de juros ( {\displaystyle i} ) a ser usada no cálculo do valor presente líquido para avaliação de projetos é a taxa mínima de atratividade (TMA), que é a taxa de juros que representa o mínimo que o investidor se propõe a ganhar ao fazer o investimento.