Ondas estacionárias

Introdução

As ondas estacionárias são produzidas pela interferência de duas ondas senoidais iguais, mas com sentidos opostos de propagação. A onda estacionária pode ser descrita a partir das equações das duas ondas:

y1(x,t) = ym sen(kx – ωt)

y2(x,t) = ym sen(kx + ωt)

Levando em consideração o princípio da superposição obtemos:

y(t) = 2ym sen(kx) cos(ωt)

As ondas estacionárias apresentam pontos onde se observa deslocamento nulo (nós) e outros onde o deslocamento é máximo (ventres).

O termo 2ym sen(kx) da equação pode ser visto como a amplitude da oscilação do elemento da corda em determinado ponto x. Sabendo que o seno pode assumir valores negativos e que a amplitude sempre é positiva, assume-se o valor absoluto do termo 2yn sem(kx) como a amplitude em x.

Numa onda estacionária, a amplitude varia com a posição. Neste caso, uma corda presa nas duas extremidades em presilhas. Supondo que uma onda senoidal contínua de determinada frequência se propaga para baixo e, ao chegar a esta extremidade, ela é refletida e volta a se propagar para cima.

Quando a onda refletida começa a se propagar para cima, ela se encontra com a onda que ainda se propaga para baixo. Ao chegar à extremidade superior, a onda que se propagava para cima é refletida e, ao ir para baixo, no caminho de volta, se encontra com as ondas que se propagam tanto para cima quanto para baixo. Sendo assim, tem-se muitas ondas superpostas que interferem entre si. Apenas para certas frequências a interferência produz uma onda estacionária

Procedimento Experimental

Medida do número de ventres da corda

O aparato para observação da formação de ondas estacionárias encontrava-se montado, conforme mostrado na Figura 1.

Figura 1: Montagem do equipamento para observação de formação de ondas estacionárias em uma corda.

Mediu-se o comprimento da corda que foi fixado em 39 cm ±0,05 cm.

Foi medida a massa de 7 clipes de papel de uma só vez, de modo a aferir a massa média dos clipes, sendo tomado também o valor da incerteza correspondente.

O gerador de funções foi ajustado para RANGE na faixa de operação 3 (100Hz).

Construiu-se um gráfico (Gráfico 1) em papel milimetrado da frequência da corda υcorda. A barra de erro foi construída utilizando-se os valores de υcomp_inicial /2 e υcomp_final /2.

Ajustou-se os modos de ressonância de frequência até que se observasse a formação de um ventre definido na corda. A frequência inicial (υcomp_inicial) na qual observou-se a formação do ventre foi anotada, assim como a frequência final (υcomp_final) na qual o ventre se desfez e a corda voltou a vibrar randomicamente.

Com base nos valores obtidos, obteve-se uma frequência média (υcomp_media), calculando-se uma média aritmética entre as frequências inicial e final, e a frequência da corda pela relação υcomp_media = 2υcorda.

Fez-se as mesmas medidas para a formação de 2, 3, 4 e 5 ventres. As medidas obtidas estão descritas na Tabela 1.

Medida da frequência de ressonância da corda

De posse da massa média dos clipes, utilizou-se 5 medidas de massa diferentes respeitando-se um limite de 22 g para evitar danos ao alto-falante. Fez-se várias medidas das frequências inicial e final da corda para formação de 3 ventres, adicionando-se à corda 1, 2, 3, 5 e 7 clipes de papel. As medidas obtidas estão descritas na Tabela 2.

Construiu-se um gráfico (Gráfico 2) de υcorda em função da tração F na corda. Utilizou-se os valores de υcomp_inicial /2 e υcomp_final /2 para confecção das barras de erro para υcorda .

Resultados e discussão

Medida do número de ventres da corda

Os dados obtidos nas medidas de frequência da corda para criação de n ventres estão descritos na Tabela 1.

Tabela 1: Frequências de ressonância inicial e final (Hz) da corda em função do número n de ventres. A incerteza é ±0,01Hz para todas as medidas experimentais.

N υcomp_inicial υcomp_final υcomp_media υcorda

1 32,56 47,05 39,84 19,90

2 65,88 88,84 77,30 36,68

3 97,29 123,40 110,35 55,19

4 147,89 156,90 152,41 76,21

5 189,62 191,30 188,92 94,46

Para a confecção das barras de erro na frequência da corda, utilizou-se as relações das frequências inicial e final da corda para formação de n ventres, expressas nas Equações 1 e 2, respectivamente. Os valores obtidos estão demonstrados na Tabela 2.

(υcomp_inicial)/2 Eq. 1

(υcomp_final)/2 Eq. 2

Tabela 2: Valores utilizados para confecção das barras de erro relacionando as frequências inicial (υcomp_inicial) e final (υcomp_final) da corda, em Hz, em função do número de ventres (N)

N υci⁄2 υcf⁄2

1 17,780 23,523

2 32,940 44,420

3 48,646 61,705

4 73,945 78,470

5 94,810 95,650

A curva descrita pela Equação 3, foi ajustada manualmente de modo aos pontos experimentais do gráfico.

υcorda=k1n^p Eq.3

Na qual n é o número de ventres obtidos para a frequência da corda tal que mais se aproximou da curva ajustada manualmente.

Fixando-se p = 1, obteve-se o valor de k1.

υcorda = 19,902 Hz , n = 1

k1 = υcorda⁄n

k1 = 19,902 Hz

A frequência da corda pode ser expressa pela relação descrita na Equação 4.

υ=v/λ