MATEMATICA FINANCEIRA

RESUMO

INTRODUÇÃO

Etapa 1        

Passo 1

1. Gold lass (significa Classe Ouro) – Consultoria e Projetos financeiros.

2. A derivada é a inclinação do gráfico de uma dada função, para um dado valor de x. Também pode ser interpretada como o quanto y varia em função de x. No caso da reta, a inclinação não varia em função de x, pois é constante por todo o gráfico (em retas, a derivada é constante e corresponde ao coeficiente angular). Em funções que não são retas, a derivada depende do valor de x. É só pensar, por exemplo, numa função como uma parábola, a famosa função de segundo grau, do Ensino Médio. A inclinação do gráfico dessa função não é a mesma para todos os valores de x. Assim funciona com uma função trigonométrica, como a função seno, por exemplo.

[pic 1]. Você vê que aquilo é um esboço de algo que se assemelha ao coeficiente angular do gráfico, e a única diferença é que o gráfico não é uma reta. Quando escolhemos e ligamos dois pontos arbitrários de um gráfico não-linear, chamamos a reta que liga esses dois pontos de reta secante (a reta secante pode interceptar infinitos pontos do gráfico da função). Você concorda que, quanto mais aproximarmos os pontos a e b, mais próximos estaremos de encontrar uma reta cuja inclinação corresponde à inclinação do gráfico nas proximidades dos pontos a e b? Aderivada envolve uma aproximação infinitesimal, um limite. 

 Quando b tende infinitamente a a, a inclinação da secante é a derivada, que é a inclinação do próprio gráfico dessa função no ponto a. Repare que com h = 0 ou com  a = b, aquela equação fica indefinida, há uma divisão por zero. Por isso é um limite, como já expliquei.  A definição formal de derivada é aquele limite que está escrito ao lado do gráfico, tanto o primeiro quanto o segundo (na verdade, esses dois limites são equivalentes). Lê-se “olimite, com b tendendo a a, de f(x)”, no primeiro caso e “o limite, com h tendendo a zero, de f(x)”, no segundo caso.

Mas, afinal, para que serve a derivada?A primeira e mais clássica aplicação da derivada é a velocidade instantânea de um corpo (viu como é importante? A primeira matéria ensinada no curso de Física I já envolvederivadas). Se é dada a função que descreve a posição de um corpo em função do tempo, a derivada dessa função corresponde à velocidade do corpo naquele instante de tempo (lembra que a velocidade é a variação de espaço dividido pela variação de tempo, e a derivada de y com relação a x é o quanto y varia em função de x? Fica claro que aderivada da posição de um corpo é a velocidade. É só pegar aquela primeira definição dederivada, na imagem, e substituir y = espaço e x = tempo). Isso permite que se calcule a velocidade do corpo para qualquer instante de tempo (a não ser que a derivada não esteja definida em algum ponto, o que não ocorre na Física Clássica). Tal noção é intuitiva, pois se o gráfico da posição em função do tempo é muito inclinado há uma grande variação de espaço por unidade de tempo, ou seja, o módulo da velocidade é alto.

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