Pesquisa Operacional

1 - Uma empresa especializada em confecção de uniformes escolares e profissionais está pretendendo lançar no mercado dois novos modelos de uniformes para copeiras de hotéis, com um diferencial de qualidade. Para isso, fará uma combinação de três tipos de tecidos: brim, seda e cetim. De acordo com o setor de produção, os fornecedores podem produzir, mensalmente, até 32 metros de brim, 22 de seda e 30 de cetim. Devido às características de cada uniforme, o consumo de cada tipo de tecido varia da seguinte forma: cada unidade a ser fabricada do uniforme do tipo TW necessitará de 4 metros de brim, 2 de seda e 2 de cetim; e cada unidade a ser fabricada do uniforme do tipo TX necessitará de 2 metros de brim, 4 de seda e 6 de cetim. Tendo em vista que a unidade do modelo TW será vendida por R$ 360,00 e que cada unidade do modelo TX será vendida a R$ 410,00, o interesse é montar um modelo PPL para determinar quantas peças devem ser produzidas de cada modelo para obter a receita máxima. Esta questão foi adaptada de Silva et al. (1998).

Variáveis de decisão

A = Quantidade de peças modelo TW

B = Quantidade de peças modelo TX

- Restrições

4 A + 2 B ≤ 32  (BRIM) 2 A + 4 B ≤ 22  (SEDA) 2 A + 6 B ≤ 30  (CETIM) - Objetivo

Max  → R = 360 A + 410 B

4 A + 2 B = 32

A = 0  →  B =   [pic 1][pic 2]

B = 0  →  A =   [pic 3][pic 4]

2 A + 4 B = 22

A = 0  →  B =   [pic 5][pic 6]

B = 0  →  A =   [pic 7][pic 8]

2 A + 6 B = 30

A = 0  →  B =   [pic 9][pic 10]

B = 0  →  A =   [pic 11][pic 12]

[pic 13]

Determinar a reta da função objetivo.

Considerando R = 1476

360At + 410 = 1476

A = 0  →  B =   [pic 14][pic 15]

B = 0  →  A =   [pic 16][pic 17]

Considerando R = 2952

360 A + 410 B = 2952

A = 0  →  B =   [pic 18][pic 19]

B = 0  →  A =   [pic 20][pic 21]

Através do gráfico, podemos perceber que a medida que o valor da função objetivo aumenta, o gráfico se desloca da origem, afastando-se cada vez mais. O ponto ótimo (maximização) é o último ponto onde a reta da função objetivo toca na região das soluções variáveis. Analisando o gráfico, vemos que o ponto é a interseção entre as retas das restrições (Seda e Brim).

Basta resolver o sistema de equações com essas duas equações:

4 A + 2 B = 32                                        4 A + 2. (2) = 32

2 A + 4 B = 22     (-2)                                4 A + 4 = 32

                                                        4 A = 32 - 4

 4 A + 2 B =   32                                        4 A = 28

-4 A – 8 B = - 44 _                                

    1  - 6 B = - 12

B =  [pic 22][pic 23]                                        A =  [pic 24][pic 25]

Portanto

R = 360 A + 410 B

360 . 7 + 410 . 2

2520 + 820

R = 3340

2- Uma empresa fabricante de móveis de copa trabalha com 3 modelos diferentes chamados MXA, MXB e MXC, cuja produção semanal deseja programar. As margens unitárias de lucro dos modelos são, respectivamente, 20, 8 e 3 reais. A empresa possui três seções de produção, cada uma com uma determinada finalidade e capacidade produtiva semanal, sendo que a seção 1 possui uma capacidade de 240 horas de trabalho, a seção 2, de 320 horas, e a seção 3, de 480 horas. Para a produção de 1 modelo MXA, são necessárias 4 horas da seção 1 e 1 hora da seção 3; para a produção de 1 modelo MXB, são necessárias 4 horas da seção 1, 2 horas da seção 2 e 2 horas da seção 3; e, para a produção de 1 modelo MXC, são necessárias 3 horas da seção 1 e 4 horas da seção 2. O interesse da empresa é definir a produção para obter o máximo da margem de lucro. Esta questão foi extraída de Andrade (2009).

Transformação das restrições em equações

X1. 4 + X2 . 4 + X3 . 3 + VF1 = 240

X1. 0 + X2 . 2 + X3 . 4 + VF1 = 320

X1. 3 + X2 . 4 + X3 . 0 + VF1 = 480

Transformação da função objetivo em equação

L = X1. 20 + X2 . 8 + X3 . 3

L - 20 X1 - 8 . X2 - 3 . X 3 = 0

Transferindo as variáveis obtidas em um quadro

1. Quadro inicial

	X1	X2	X3	VF1	VF2	VF3	SOLUÇÃO	BASE
REST. 1	4	4	3	1	0	0	240	VF1
REST. 2	0	2	4	0	1	0	320	VF2
REST. 3	3	4	0	0	0	1	480	VF3
OBJETIVO	- 20	- 8	- 3	0	0	0	0	Z

2) Encontrado a coluna Pivô, que é a linha com melhor coeficiente na função objetivo (- 20)

	X1	X2	X3	VF1	VF2	VF3	SOLUÇÃO	BASE
REST. 1	4	4	3	1	0	0	240	VF1
REST. 2	0	2	4	0	1	0	320	VF2
REST. 3	3	4	0	0	0	1	480	VF3
OBJETIVO	- 20	- 8	- 3	0	0	0	0	Z