A GEOMETRIA ESPACIAL
Por: arylannalves1 • 10/5/2015 • Projeto de pesquisa • 3.340 Palavras (14 Páginas) • 274 Visualizações
COLÉGIO ESTADUAL ALFREDO DUTRA
PROF. FABRÍCO
GEOMETRIA ESPACIAL
Trabalho apresentado pela aluna
_____________ da 3ª Serie do Ensino
médio para a displina de Geometria.
Itapetinga
2011
Geometria Espacial
Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, [pic 1], um polígono convexo R contido em [pic 2]e uma reta r que intercepta [pic 3], mas não R:
[pic 4]
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento [pic 5], paralelo à reta r [pic 6]:
[pic 7]
Assim, temos:
[pic 8]
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes [pic 9]paralelos a r.
Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
[pic 10]
- bases:as regiões poligonais R e S
- altura:a distância h entre os planos [pic 11]
- arestas das bases:os lados [pic 12]( dos polígonos)
- arestas laterais:os segmentos [pic 13]
- faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Classificação
Um prisma pode ser:
- reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
- oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.
Veja:
[pic 14] prisma reto | [pic 15] prisma oblíquo |
Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares: | |
[pic 16] prisma regular triangular | [pic 17] prisma regular hexagonal |
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).
[pic 18] | [pic 19] |
Áreas
Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;
b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das bases
AT = AL + 2AB
Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
[pic 20] | [pic 21] |
[pic 22]
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo [pic 23] | b) paralelepípedo reto [pic 24] |
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
[pic 25]
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.
Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
[pic 26] | db = diagonal da base dp = diagonal do paralelepípedo |
Na base ABFE, temos:
[pic 27] | [pic 28] |
No triângulo AFD, temos:
[pic 29] | [pic 30] |
Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
[pic 31]
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
[pic 32] | AT= 2( ab + ac + bc) |
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