Matematica financeira

2. Fundamentos da matemática financeira
Qualquer operação financeira deve estar estruturada em função do tempo e de uma taxa de juros. A seguir temos os nomes de cada componente de uma operação tanto juros simples como composto:
P=valor presente. É o valor inicial de uma operação.
I= taxa de juros periódica.
I= a letra i minúscula quer dizer que a taxa I foi dividida por cem.
n= é o período, o tempo que deve estar em acordo com a taxa de juros.
Fn= valor futuro, é composto de amortização mais juros.
É comum tanto aos juros simples quanto aos juros compostos os seguintes itens: fórmula, valor dos juros, valor futuro, capitalização.
3. Noções de juros simples
A definição de capitalização a juros simples se concentra na aplicação direta dos conceitos mais básicos de matemática. O valor do montante de uma divida pode ser calculado de forma linear e muitas vezes até de maneira intuitiva.
O regime de capitalização de simples é uma função linear. O valor Futuro é formado pela somatória do valor principal ou de origem com juros.
Inicialmente são calculados os juros que devem ser pagos em n períodos. Juros é igual ao valor presente P multiplicado pela taxa e pelo tempo, como observa na Fórmula 2.1:
〖J 〗_(n = P x i x n ) Fórmula 2.1
Em seguida, o valor de origem é somado aos juros, Isso possibilita o calculo do valor Futuro, conforme a Fórmula 2.2:
F_( n = P + 〖J 〗_n ) Fórmula 2.2
Substitui-se na Fórmula 2.2 a Fórmula 2.1:
Logo:
F_( n = P + ( P x i x n)) Fórmula 2.1
Coloca-se P em evidência, na fórmula 2.3:
〖F 〗_n= P x [1 + (i x n )] Fórmula 2.3
Exemplo:
Você toma R$1.000,00emprestados de uma amigo. Você deverá devolver daqui a 5 meses. Se o regime de capitalização for de juros simples e a taxa combinada de 10% ao mês quanto você deverá pagar a seu amigo?
P= 1.000,00
I=10% ao mês
N= 5 meses
F= ?
F= P x [1 + ( 0,10 x 5)]
F = 1.000 x [1 + (0,10 x 5)]
F = 1.000 x 1,50
F = 1.500,00
Logo, o valor que você deverá pagar ao seu amigo é de R$ 1.500,00.
4. Noções de juros compostos
No regime de capitalização composta também se pagam juros sobre o valor Presente P, mas com uma pequena e importante diferença: o valor inicial deve ser corrigido período após período. Essas correções são sobrepostas e sucessivas por ´´ n períodos ``em função de uma taxa de juros contratada.
Se o tempo considerado for n períodos e sabendo que (i vezes 1) é igual ao próprio i, a formula geral seguinte poderá ser usada:
F_(n=P x 〖(1 + i)〗^n )
Exemplo:
Você toma emprestado de um amigo R$ 1.000,00. Você deverá devolver daqui a 5 meses. Se o regime de capitalização for de juros compostos e a taxa combinada, de 10% ao mês quanto você deverá pagar ao seu amigo?
F = 1000 x 〖(1+i)〗^5
F = 1000 x 〖(1,10)〗^5
F = 1.610,51
Logo, o valor que você deverá pagar a seu amigo é R$ 1.610,51
5. Caso A
Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dividas impensadas foram contraídas. Vislumbrados com o grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta a mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveriam ser pagos no ato da contratação do serviço e o valor restante deveriam ser pagos um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor de entrada e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais ( prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses do valor cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite do cheque especial que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês.
Segundo as informações apresentada, tem-se:
I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17.
II- A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.
III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91
5.1. Resolução Caso A (utilizando a calculadora HP12c):
I - 3.075,00 ENTER
2.646,50 +
10.000,00 +
6.893,17 +
22.614,67
O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento não foi de R$ 19.968,17.
II – Para iniciarmos este calculo na tela da Calculadora deverá aparecer a letra ´´ c `` , para que isso aconteça devemos pressionar a telha STO e em seguida a tecla EEX em seguida temos:
10.000,00 CHS e em seguida FV
7.939,50 PV
10 n e em seguida i
2,3342%
A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.
II -
6.893,17 PV
0.33 n
7,81 i
7.066,37 logo em seguida pressionamos as teclas referentes ao valor 6893,17 depois –
173,20
O juros do cheque especial cobrado pelo banco dentro de 10 dias, referente ao valor emprestado de R$6.893,17, não foi de 358,91.
Resposta:
A afirmação I esta errada, a afirmação II esta certa e a afirmação III esta errada.
6. Caso B
Marcelo e Ana pagariam mais juros se, ao invés de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo, a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.
6.1. Resolução Caso B (utilizando a Calculadora HP12c):
6.893,17 PV
0.33 n
7,81 i em seguida FV
7.066,37
O valor não seria alterado, pois os juros do cheque especial também é composto.
Está afirmação esta errada.
7. Sequência de pagamentos
Atribui-se o nome de sequencia de pagamentos uniformes a uma situação em que um empréstimo é pago em parcelas iguais e consecutivas, período a período. A sequencia de pagamentos uniformes pode assumir duas formas: a de pagamento postecipado e a de pagamento antecipado.
8. Sequencia de pagamentos uniformes postecipados
Quando o pagamento for postecipado, o primeiro pagamento ocorre somente ao final do primeiro período.
Valor de parcelas em uma sequencia de pagamentos PMT uniformes postecipados em função da quantidade de parcelas n, do valor Presente P e da taxa de juros i .
Exemplo:
Um colega lhe pede R# 1.000,00 emprestados. Para correr o risco, cobra dele uma taxa de juros de 10% ao mês. Ele vai lhe pagar em 5 parcelas iguais (0+5). Determine o valor de cada uma.
Nesse exemplo, o valor IGUAL das parcelas é a incógnita e é representado por PMT. Sempre que se trabalha com pagamentos constantes PMT , a letra ´´n`` deve se referir ao numero de parcelas.
Resolução pela calculadora HP12c:
1.000 CHS depois PV
0 FV
5 n
10 i
PMT VISOR 263,79
Seu amigo deverá lhe pagar 5 parcelas de R$ 263,79. Esse valor deve ser positivo, pois, para você, ele é uma entrada de caixa.
9. Sequencia de pagamentos uniformes antecipados
A denominação ´´ pagamento antecipado `` se refere a uma situação em que o primeiro pagamento/recebimento é feito no instante inicial ( no inicio do período). A s demais parcelas assumem individualmente um valor idêntico a esse durante todo o período da operação.
Exemplo:
Você decide comprar um eletrodoméstico de R$ 1.000,00 em 5 parcelas (1 + 4) iguais com entrada igual as parcelas. A loja cobrou uma taxa de juros de 10% ao mês. Determine o valor de cada parcela.
Resolução pela calculadora HP12c:
Para calcular o valor das 5 parcelas, com entrada paga no inicio, a HP tem uma função especial, que deve ser acionada antes do calculo. A função é denominada BEGIN (significa inicio). Ela é acionada pelas teclas g e pela tecla 7 que em baixo esta escrito BEGE.
1.000 PV
0 FV
5 n
10 i
PMT VISOR -239,81
Você deverá pagar 5 parcelas de R$239,81 a primeira no ato da compra.
10. Caso A
Marcelo adora bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D para ver seus títulos prediletos em casa, como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as características do aparelho que deseja comprar, porque já pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiçada está anunciada por R$4.800,00. No passado, Marcelo compraria em doze parcelas ´´ sem juros `` de R$400,00 no cartão de crédito por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de qualquer compra. Hoje com sua consciência financeira evoluída, traçou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicará R$350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação renderá juros de R$120,00 acumulados nesses doze meses, ao fim de um ano, Marcelo terá juntado R$ 4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontrou o aparelho que deseja a última peça(mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento a vista em relação ao valor orçado inicialmente. Com o valor exato deste dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente a TV para complementar seu ´´ cinema em casa ``. De acordo com a compra de Marcelo, tem-se as seguintes informações:
I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00;
II - A taxa média da poupança nestes doze meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês.
10.1. Resolução Caso A (utilizando a calculadora HP12c):
I – a TV orçada inicialmente era de R$ 4.800,00 com o desconto de 10% fica R$ 4.320,00, que é justamente o dinheiro que esta na poupança. O dinheiro que ele salvou do orçamento foi de R$480,00. Portanto o valor do DVD foi de 480,00 e não R$600,00.
II –
4.200,00 PV
12 n
4.320,00 CHS e em seguida FV
i VISOR 0,2350%
a taxa média da poupança nos 12 meses não foi de 05107% e sim de 0,2350%.
A afirmação I esta errada e a afirmação II esta errada.

11. Caso B
A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana, a sua irmã Clara, para ser liquidada em doze parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a tava de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês. A respeito deste empréstimo, tem-se:
I – Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do credito , o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99.
II – Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida será de R$ 2.896,88.
III- Caso Clara opte vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21.
11.1. Resolução Caso B (utilizando a calculadora HP12c):
I –
30.000,00 CHS e logo em seguida PV
0 FV
2.8 i
12 n
PMT VISOR R$2.977,99
Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do credito, ela pagara R$2.977,99 a cada prestação.
II –
Acionar a função BEGIN
30.000,00 PV
0 FV
12 n
2,8 i
PMT VISOR 2.896,88
Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia da concessão do crédito, ela pagará 2.896,88 a cada prestação.
III –
A fórmula a ser utilizada é:
PMT= (PV x 〖(1+i)〗^(c-1 ) x i)/(1- 〖(1+i)〗^(-n) )
PMT = (30.000 x 〖(1+0,0280)〗^(4-1 ) x 0,0280)/(1- 〖(1+0,0280)〗^(-12) )
PMT = (30.000 x 1,0864 x 0,0280)/0,2821
PMT = 912,57/0,2821
PMT = 3.234,93
Caso Clara opte pagar a primeira prestação 4 meses após a concessão de crédito o valor que ela pagara em cada prestação não será de R$3.253,21 e sim de R$3.234,93.
A afirmação I esta certa, a afirmação II esta certa e a afirmação III esta errada.

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