EQUAÇÕES DIFERENCIAS (APLICACIONES E SIMULAÇÃO / PESSOAL LINEAR)

ATPS

4º Período B

CURSO: Engenharia

DISCIPLINA: Equações diferenciais e séries

Gustavo Avelar Zschaber - RA: 6269229452. Eng. Mecânica

Weverton Ribeiro dos santos- RA: 6622362079 Eng. Civil

Marciel Artur da Silva- RA: 6659513675 Eng. Produção

Pablo Soares Tomaz – RA: 6442294429. Eng. Civil

Raiferson Douglas de Castro – RA: 6656380018. Eng. Civil

Professora: Jeane

Belo Horizonte

de setembro 2014

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES

ATPS – 1º BIMESTRE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (APLICAÇÕES E MODELAGEM / LINEARES DE ORDEM SUPERIOR)

Belo Horizonte

SETEMBRO/2014

Sumário.

Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 03

1- Circuito elétrico RL (ilustração e aplicação). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 04

2- A lei de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 05

3- Modelagem do circuito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 04

4 – Detalhamento aplicado por uma equação diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .06

5 – Conclusão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 08

6 - Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .09

Introdução:

O circuito elétrico ou eletrônico é um determinado agrupamento de componentes de comportamento elétrico bem definido e destinado à condução de cargas elétricas. O comportamento idealizado dos circuitos é descrito por meio de modelos matemáticos. Por serem fenômenos dinâmicos, estes comportamentos estão propícios à modelagem matemática e computacional. Este trabalho apresenta a modelagem matemática de um circuito RLC série e seus resultados simulados. Através da modelagem matemática deste circuito, que é baseada na lei das tensões de Kirchhoff, chega-se a um modelo matemático que descreve o comportamento de algumas grandezas elétricas em função do tempo.

Em várias áreas da engenharia existe a necessidade da modelagem do comportamento de algum sistema em termos matemáticos. Esta modelagem começa com a identificação das variáveis que são responsáveis pelas mudanças de estado no sistema e com hipóteses relacionadas ao sistema. O modelo matemático é muitas vezes descrito por uma equação diferencial e espera-se que ele tenha uma solução que descreva de forma mais próxima possível o comportamento do sistema.

Este trabalho apresenta a modelagem matemática de um circuito RL série. Através desta modelagem chega-se a uma equação diferencial linear de segunda ordem que pode descrever o comportamento ou o estado das cargas e correntes elétricas de um circuito elétrico RL série

Circuito RL:

Neste circuito iremos determinar a corrente elétrica em função do tempo onde o gerador produz a diferença de potencial entre dois pontos:

Descrita por V(t) ou função V(t).

A corrente elétrica é definida como a quantidade de carga que passa por qualquer seção reta deste circuito por unidade de tempo:

i=dQ/dt

Para determinar esta corrente elétrica em função do tempo usaremos a lei de “Kirchhoff”, ela vai dar-nos uma relação entre a corrente elétrica e {R/L[V(T)]}, que são características deste dispositivo.

Lei de “Kirchhoff:

Gustav Robert Kirchhorf foi um físico alemão que se dedicou, principalmente, no campo dos circuitos elétricos. Kirchhorf é autor de duas leis fundamentais da teoria clássica dos circuitos elétricos e da emissão térmica.

As leis de Kirchhorf são empregadas em circuitos elétricos mais complexos como aqueles com mais de uma fonte de resistores, capacitores ou indutores em série ou em paralelo.

De acordo com a primeira lei de Kirchhorf, “em qualquer nó, a soma das correntes que o deixam é igual à soma das correntes que chegam até ele”. Esta lei é uma consequência da conservação da carga total existente no circuito. A segunda lei de Kirchhorf mostra que “a soma algébrica das forças eletromotrizes em qualquer malha é igual à soma algébrica das quedas de potencial contida na malha”.

Aplicando a esse circuito a soma das quedas de potencial através de todos os dispositivos em um circuito fechado tem que ser 0 (zero).

Somaremos à queda de potencial do resistor, que empiricamente ela é proporcional a corrente elétrica, essa constante de proporcionalidade é que chamaremos de resistência (Ri). E a queda de tensão nesse dispositivo aplica ao indutor (L), que é proporcional a taxa de variação da corrente elétrica, e a constante de proporcionalidade chamamos de indutância di/dt. Igualando a diferença de potencial aplicada V(t), porque se a queda de potencial for negativa terá que ser compensada por uma subida de potencial dada por esse gerador para que tenhamos 0 (zero) partindo do ponto (●), identificado no circuito.

Para calcular usaremos uma equação, onde estes dispositivos (que importa no circuito) responde linearmente a corrente elétrica, ou seja, a queda de potencial através deles é dada por relações lineares, que aplica uma equação de primeira ordem linear:

Ri+L=di/dt=V(t)

Modelagem e detalhamento do circuito:

Ilustrando