Estudo do Movimento Harmônico Simples para o Ensino Médio

Movimento Harmônico Simples (MHS)[pic 2]

Definição do MHS

O movimento de uma partícula é dito periódico quando ela mover-se de modo tal que, em intervalos de tempos iguais, o movimento se repete identicamente.

O movimento de uma partícula é dito oscilatório quando ela mover-se de um lado para outro alternadamente em sentidos opostos, tornando a passar pelas mesmas posições em torno de um ponto dado.

O MHS é um tipo particular de movimento periódico oscilatório em que uma partícula se move sobre uma reta de modo que a intensidade da força que tende a levá-la ao ponto fixo cresce na mesma proporção em que aumenta o seu afastamento deste mesmo ponto fixo.[pic 3]

Na figura abaixo temos um oscilador massa-mola descrevendo um MHS. Observe que a força elástica [pic 4] leva sempre a bola para a posição de equilíbrio (O) e é mais intensa quanto mais afastada a bola estiver de O.

[pic 5][pic 6][pic 7]

MHS como projeção do  MCU

O MHS pode ser visto como a projeção ortogonal do movimento circular uniforme (MCU) sobre qualquer reta.

Na figura abaixo temos uma partícula que realiza um MCU num plano vertical. A “sombra” da partícula descreve um MHS sobre uma linha reta vertical do mesmo jeito que uma bola presa a uma mola.

[pic 8]

Relembrando o MCU[pic 9]

A medida algébrica do ângulo que define a posição s do corpo, em relação à origem, é chamada de ângulo fase ou horário (ϕ) (unidade do SI é o rad = radiano).

        Sabemos que freqüência (f) é o numero de repetições (n) por unidade de tempo (Δt), ou seja:

[pic 10][pic 11]

        Cuja unidade do SI é o Hz = Hertz.

Chamamos de período (T) ao tempo para que um evento se repita (unidade do SI é o s = segundo).

O MCU, por ser um movimento periódico, tem freqüência (f) e período (T) que se relacionam por:

[pic 12][pic 13]

        

        Um móvel que descreve uma trajetória circular com velocidade angular (ω) constante executa um MCU. A velocidade angular pode ser calculada através das fórmulas:

[pic 14]       ou       ω = 2πf[pic 15][pic 16]

A unidade do SI para ω é o rad/s.[pic 17]

        Sabemos também que        v = ωR[pic 18]

e que

[pic 19]     ou    aC = ω2R[pic 20][pic 21]

Funções horárias do MHS

Função horária da elongação

Consideremos um ponto material P descrevendo um MHS e seu respectivo equivalente no MCU descrevendo uma circunferência de raio R = A.

A abscissa do ponto P é representada por x e é denominada de elongação.

No movimento circular ω é denominada de velocidade angular, mas, no MHS será chamada de pulsação. [pic 22]

O ponto material P descreve um MCU dado por ϕ = ϕ0 + ωt

No MHS ϕ será chamado de ângulo fase.

A distância da projeção de P sobre o eixo x até o centro O é x = A cos ϕ

Portanto, a função horária da elongação é:

x = A cos (ωt + ϕ0)[pic 23]

A distância de O para +A ou de O para −A será representada por A e será chamada de amplitude.

Função horária da velocidade

O ponto P realiza um MHS de amplitude A e pulsação ω.

[pic 24]

A componente de [pic 25] na direção do eixo é: v = v’ cos α = −ωA cos α

Mas, α e ϕ são complementares: cos α = sen ϕ

Logo, a função horária da velocidade é v = −ωA sen ϕ

[pic 26]

v = −ωA sen (ωt + ϕo)

Função horária da aceleração

No MCU, a aceleração é centrípeta e, portanto, radial no sentido para o centro.

[pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

A componente da [pic 31] (aceleração centrípeta) na direção do eixo é

a = −ac cos ϕ