Geometria Material Didático Notas de Aula

Material Didático Notas de Aula Viviane Carla Fortulan

I – MATRIZES

1. Definição: Matriz m x n é uma tabela de m . n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Exemplos:

1.  [pic 1] é uma matriz 2 x 3;

2.  [pic 2] é uma matriz 2 x2;

3.  [pic 3] é uma matriz 4 x 3.

Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 respectivamente, uma matriz pode ser representada por colchetes, parênteses ou duas barras verticais.

2. Representação de uma matriz:

        As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna ocupadas pelo elemento.

Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é representada por:

[pic 4]

ou, abreviadamente, A=[pic 5], onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa, [pic 6].

        Por exemplo, na matriz anterior, [pic 7] é o elemento da segunda linha com o da terceira coluna.

        Exemplo 1: Seja a matriz A=[pic 8], onde [pic 9]:

        Genericamente, temos: [pic 10]. Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, temos:

        [pic 11]

        [pic 12]

        Assim, A=[pic 13].

3. Matrizes especiais:

        3.1 Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.

        Ex: [pic 14].

        3.2 Matriz coluna: É toda matriz do tipo n x 1, isto é, com uma única coluna.

        Ex: [pic 15].

        3.3 Matriz quadrada: É toda matriz do tipo n x n, isto é, com o mesmo número de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é de ordem n.

        Ex: [pic 16]                                   [pic 17]

                       Matriz de ordem 2                                         Matriz de ordem 3

        Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

        Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j.

        Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1..

Exemplo:

        [pic 18]

        Descrição da matriz:

        

• O subscrito 3 indica a ordem da matriz;
• A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6;
• A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5;
• [pic 19]= -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1;
• [pic 20]= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.

        3.4 Matriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos.

        

Notação: [pic 21]

Exemplo: [pic 22]

        3.5 Matriz diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.

        

Exemplo: [pic 23]                               [pic 24].

        3.6 Matriz identidade: É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1.

        

Notação: [pic 25] onde n indica a ordem da matriz identidade.

Exemplo: [pic 26]                               [pic 27]

ou : [pic 28]

        3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.

Notação: [pic 29].

Exemplo: Se [pic 30] então [pic 31]=[pic 32]

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, [pic 33] é do tipo n x m. Note que a primeira linha de A corresponde à primeira coluna de [pic 34] e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de [pic 35].

        3.8 Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando A=[pic 36].

        

OBS: Se A = -[pic 37], dizemos que a matriz A é anti-simétrica.

Exemplo: Se [pic 38]                       [pic 39]

        3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.