Progressões Aritméticas

Soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Muitas foram as contribuições do alemão Carl F. Grauss (1777 – 1855) à ciência e, em particular, à Matemática. Sua incrível vocação para a matemática se manifestou desde cedo, perto dos dez anos de idade. Conta-se que Gauss surpreendeu seu professor ao responder o valor da soma (1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100) em pouquíssimo tempo.

Generalizando seu raciocínio para uma P.A. qualquer, temos a seguinte propriedade:

A soma dos n primeiros termos da P.A. (a1, a2, ...,) é dada por:[pic 1]

[pic 2]

Exemplo 1:

Voltemos ao problema introdutório de P.A (latas). Podemos agora calcular o número total de latas que formavam a pilha no supermercado.

A sequência do número de latas é (2, 5, 8, ...). O último termo dessa P.A. é  Assim, a soma dos quinze primeiros termos é:[pic 3]

[pic 4]

Exemplo 2:

Qual é o valor de -61 + (-54) + (-47) + ... + 296 + 303?

A sequência (-61, -54, -47, ... , 296, 303) é uma P.A. de razão 7, da qual conhecemos seu primeiro termo (-61) e seu último termo (303).

[pic 5]

Daí a soma pedida é:

[pic 6]

Exercícios

1. Calcule a soma dos quinze primeiros termos da P.A. (-45, -41, -37, -33, ...).

1. Calcule a soma dos vinte primeiros termos da P.A. (0,15; 0,40; 0,65; 0,9; ...).

1. Para a compra de uma TV pode-se optar por um dos planos seguintes:

• Plano alfa: entrada de R$400,00 e mais 13 prestações mensais crescentes, sendo a primeira de R$35,00, a segunda de R$50,00, a terceira de R$65,00 e assim por diante;
• Plano beta: 15 prestações mensais iguais de R$130,00 cada.

1. Em qual dos planos o desembolso total é maior?
2. Qual deveria ser o valor da entrada do plano alfa para que, mantidas as demais condições, os desembolsos totais fossem iguais?

1. Uma gravadora observou que, em um ano, a venda de DVDs aumentava mensalmente segundo uma P.A. de razão 400. Se em março foram vendidos 1600 DVDs, quantos DVDs a gravadora vendeu naquele ano?
2. O termo geral de uma P.A. é  Calcule a soma de seus dez primeiros termos.[pic 7]

1. Uma equipe de vendas de colchões desejava atingir a meta anual de 5 000 unidades vendidas. Mesmo sem fazer todas as contas, o gerente da equipe arriscou a seguinte previsão: “Precisamos vender, no 1º mês, 240 colchões e, em cada mês subsequente, 35 colchões a mais que a quantidade vendida no mês anterior. Se isso ocorrer, conseguiremos superar a meta!”.

1. A previsão do gerente estava correta do ponto de vista matemático?
2. Sabe-se que, até o penúltimo mês, a equipe vendeu exatamente a quantidade proposta pelo gerente, exceção feita no 5º mês, em que foram vendidos apenas 45% da quantidade prevista. Qual é o número mínimo de colchões que precisariam ser vendidos, no último mês, a fim de atingir a meta?

1. Marcos, recebia do seu pai uma mesada de R$210,00 por mês. Muito esperto, o garoto propôs que a mesada fosse paga aos poucos: R$1,00 no primeiro dia, R$1,50 no segundo, R$2,00 no terceiro dia e assim por diante, até o 30º.

1. Calcule a quantia que Marcos receberia mensalmente caso seu pai concordasse com a proposta (Verifique que o valor que Marcos receberia é da ordem de 18% a mais que o valor da mesada.).
2. Qual deveria ser o aumento diário mínimo (no lugar de R$0,50) no valor recebido por Marcos, a contar do 1º dia (em que ele receberia R$1,00), para que o valor total recebido ultrapasse os R$210,00?

1. Suponha que, em certo mês (com 30 dias), o número de queixas diárias registradas em um órgão de defesa do consumidor aumentasse segundo uma P.A. Sabendo que nos dez primeiros dias houve 245 reclamações e, nos dez dias seguintes houve mais 745 reclamações, determine a sequência do número de queixas naquele mês.

1. Calcule:

1. 0,5 + 0,8 + 1,1 + ... + 9,2
2. 6,8 + 6,4 + 6,0 + ... + (-14)

1.  A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é dada por Sn = 18n -3n², sendo . Determine:[pic 8]

1. O 1º termo da P.A.
2. A razão da P.A.
3. O 10º termo da P.A.

1. Uma criança organizou suas 1378 figurinhas, colocando 3 na primeira fileira, 7 na segunda fileira, 11 na terceira fileira, e assim por diante, até esgotá-las. Quantas fileiras a criança conseguiu formar?

1. Utilizando-se um fio de comprimento L é possível construir uma sequência de 16 quadrados em que o lado de cada quadrado, a partir do segundo, é 2 cm maior que o lado do quadrado anterior. Sabendo que para construção do sétimo quadrado são necessários 68 cm, determine o valor de L.

Progressão aritmética e função afim

Vamos estabelecer uma importante conexão entre P.A. e função afim.

Já vimos que uma P.A. (1, 4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma função f de domínio em , como mostra o diagrama abaixo:[pic 9]

[pic 10]

A representação gráfica é o conjunto de pontos a seguir:

[pic 11]

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