A integral indefinida A integral definida

ETAPA 1:

Aula tema: Integral Definida e Integral Indefinida

Objetivo do Desafio:

Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto.

PASSO 1:

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

Definição:

Segundo pesquisa na internet: o cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Também que a integral indefinida pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Enquanto a integral definida, inicialmente definida como soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

O "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss).

Referente a área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

História da Integral:

A história mostra que o cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolvendo o problema de medição da área de uma região bidimensional. Para muitos matemáticos, cientistas e engenheiros a integral simplifica os problemas complicados. Historicamente, existem inúmeras contribuições dos matemáticos no cálculo, tais como:

- Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) quem executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas.

- Antiphon (cerca de 430 A.C.) afirmava que poderia "quadrar o círculo" ou encontrar sua área, usando uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos.

- Eudoxo (cerca de 370 A.C.) usou um método chamado de exaustão.

- Arquimedes (287--212 A.C.), conhecido como o maior matemático da antiguidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência. Seu mais famoso trabalho de todos, foi um tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade.

Outros matemáticos surgiram, depois de Arquimedes, como o árabe Thabit ibn Qurrah (826--901) quem desenvolveu sua própria cubatura. Assim também o cientista persa Abu Sahl al-Kuhi (século 10) quem simplificou consideravelmente o processo de Thabit Ibn. O matemático Al-Haytham (965--1039), mais conhecido no ocidente como Alhazen e quem chegou a ser famoso por seu trabalho em ótica. E assim em diante, muitos outros matemáticos, estudantes, cientistas, etc. trabalharam ao longo da história para construir o caminho que hoje facilita o cálculo integral em diversos ambientes, sendo usada como uma ferramenta de auxilio.

PASSO 2

DESAFIO A

Qual das alternativas representa a integral indefinida de : ( a3/3+3/a3+3/a )

( a3/3+3/a3+3/a )=

F(a)=13a3+31a3+31a=

F(a)=13.a44+31.a-2-2+3.lna=

F(a) = a4/12 - 3/2a2 + 3.lna + C

A alternativa correta correspondente ao desafio A é a ( b )

DESAFIO B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

1000dq+50d.dq=

C(q)=1000q+50q2/2=

C(q)=1000q+25q2+c=

C(q)=1000+25q2+10.000

A alternativa correta correspondente ao desafio B é a ( a )

DESAFIO C

No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1.e 0,07t. Qual das alternativas responde corretamente