Integral indefinida, integral definida

Objetivo do Desafio

Elaborar um conjunto de relatórios que mostre as soluções matemáticas utilizadas para encontrar o nome atribuído à galáxia descoberta recentemente pelo Dr. Peterson Gotaskaem e sua equipe e a distância (em bilhões de anos-luz) em que ela se encontra da nossa galáxia. Cada etapa deste material, cumprida corretamente, deverá fornecer letras e/ou números que irão compor o nome e a distância da galáxia. Este desafio deverá ser solucionado, etapa a etapa, e apresentado por meio dos relatórios parciais (Etapa 1 à Etapa 3) e relatório final (Etapa 4).

ETAPA 1

Aula tema: integral indefinida, integral definida.

Esta etapa é importante para que você fixe, de forma prática, a teoria integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina

Fazer as atividades apresentadas a seguir:

1. Ler atentamente bibliografia recomendada que descreva os conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisar também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Fazer um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborar um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Integral

No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes.

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.

A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

Definição formal e notação

Integral definida

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é denotada como:

Em linguagem matemática

Em Português

S é a integral da função , no intervalo entre a e b. é o sinal da integral, é o integrando e os pontos e são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.

Onde é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com ) e com imagem no conjunto dos números reais

A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório4 . Isto porque intuitivamente a integral de pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base tendendo a zero e altura , onde o produto é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

Em linguagem matemática Em Português

A integral de no intervalo [a,b] é igual ao limite do somatório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por . O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes).

onde comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números .

onde Valor ("altura") da função quando x é igual ao ponto amostral , definido como um ponto que está no subintervalo (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).

Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.

Integral indefinida

Integral indefinida é uma função (ou família de funções), assim definida :

se e somente se , ou, o que é a mesma

coisa,

Relação entre integral definida e indefinida

A integral definida é um número; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções. A conexão entre elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Se for contínua em [a,b], então .

Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a,b], resulta no valor da integral definida.

Teorema fundamental do Cálculo

Caso se resolva a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito como:

onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é, b, seja muito próximo de a, tal que se possa escrever:

Como