O integral indefinida e o integral é definida

CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

RELATÓRIO 1 : Integral Indefinida e Integral Definida..

Professor: Erivaldo S. Santos

Esta etapa é importante para o aluno fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Jundiaí

2013

O surgimento do Cálculo Diferencial Integral

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.

O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.

Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.

Mas no lugar de derivadas, Newton empregou fluxos de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a ideia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o fluxo da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.

As ideias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+

(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento “infinitesimal”.

Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como ò ydx. Então, “elevando a alturas maiores”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por ò ydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas y são diferenças de Y, ou y = dY. Em tempos modernos, Y é nossa antiderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

Introdução ao Cálculo

A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e Integral. Do ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de traçar a tangente a uma curva (como a inclinação de uma reta) enquanto que a integral está relacionada com o problema de determinar a área de certas figuras planas (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), mas também possui muitas outras interpretações possíveis. Na realidade, a grande descoberta de Newton e de Leibniz foi que a Matemática, além de lidar com grandezas, é capaz de lidar com a variação das mesmas.

Teorema Fundamental do Cálculo estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área.

Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em s da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do base", ou seja, possui áreas iniciais integral de diferenciais.

Integral Indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a Integral Definida, inicialmente definida , estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

Exemplo de busca em grafo E/OU

Um exemplo natural de um grafo E/OU é um programa para a integração simbólica de funções matemática. MACSYMA é um programa bem conhecido que é usado extensivamente por matemáticos. O raciocínio do MACSYMA pode ser representado como um grafo E/OU. Para realizar integrações, uma classe importante de estratégias adotadas envolve quebrar uma expressão em subexpressões que possam ser integradas independentemente, com o resultado sendo combinado algebricamente numa expressão de solução. Exemplo desta estratégia incluem a regra para integração por partes e a regra para descompor a integral de uma soma na soma das integrais dos termos individuais. Estas estratégias, que representa a decomposição de um problema em subproblemas independentes, podem ser representada por nós E no grafo.

Uma outra classe de estratégia envolve a