ATPS CALCULO 2

ATPS - CÁLCULO II

Trabalho apresentado à Faculdade de Engenharia Ambiental e de Produção da Anhanguera Educacional, na matéria de Cálculo II sob a orientação do professor Rubens Vito.

Cascavel - 2014

INTRODUÇÃO

Neste trabalho estudaremos os conceitos de velocidade instantânea e aceleração instantânea, estaremos aplicando a derivada nas equações do espaço e da velocidade e mostraremos como a matemática está ligada a física, música ao nosso dia a dia nas diversas áreas, através das series harmônicas, estudaremos também a teoria de Euler-Mascheroni.

ETAPA 1

PASSO 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, ∆t→0.Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço. Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

A velocidade instantânea é o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo(t), onde tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo (∆t) que não tende a 0, a velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. A velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo formula.

As equações utilizadas tanto em física como em cálculo seguem a mesmo logica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição em relação ao seu tempo.

S- S0 = V0t + (at²) /2 - que mostra o quanto um corpo consegue se deslocar partindo de determinada velocidade com aceleração constante em um intervalo de tempo definido.

Em cálculo seguindo as regras de derivação temos a função.

V = V0 + a.t –que mostra o quanto a velocidade pode variar com uma aceleração constante em um intervalo de tempo definido.

Assim a velocidade é a derivada do espaço em relação ao tempo.

v = ds/dt

Exemplo dos RA

Aceleração-16m/s²

Velocidade inicial-0m/s²

Espaço inicial-0m/s²

S- S0 = V0t + (at²) /2

S=0+0t+(16/2)=8 t²

PASSO 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado.

Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

t(s). s(m) .t(s) .v(m/s). (t,v)

0 s=8.0²=.0=0 0.0 v=16.0=0 0.0

1 s=8.1²=8.1=8 1.8 v=16.1=16 1.16

2 s=8.2²=8.4=32 2.32 v=16.2=32 2.32

3 s=8.3²=8.9=72 3.72 v=16.3=48 3.48

4 s=8.4²=8.16=128 4.128 v=16.4=64 4.64

5 s=8.5²=8.25=200 5.200 v=16.5=80 5.80

Gráfico s(m) x t(s) Gráfico v(m/s) x t(s)

Usando o cálculo da área temos:

A = S => S = b.h => S = 5.80 = 400/2 = 200 m

Sendo assim, se tentarmos obter as áreas ponto – a – ponto chegaremos ao gráfico de s (m) x t (s).

Tempo(t) 0 1 2 3 4 5

Espaço(s) 0 16 32 48 64 80

PASSO 3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade. Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que

é a aceleração é a derivada segunda. Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito De derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Aceleração instantânea da partícula no instante t é o limite dessa razão quando Δt tende a zero. Representando a aceleração instantânea por a x, temos então:

A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está alterando naquele instante. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a = dv.dt. Vamos derivar a equação da velocidade instantânea para obter a aceleração instantânea. Função da velocidade em um determinado instante.

V=V0¹-¹ + a*t¹-¹

V=1*V0¹-¹ + 1*a*t¹-¹

a=a

Podemos observar que a derivada da velocidade instantânea resulta direto na aceleração

Exemplo passo 1

Em palavras, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é dada pela derivada segunda de sua posição x(t) em relação ao tempo a= dxdt= ddt dxdt= d²xdt².

Derivando velocidade em relação ao tempo: a= dv.dt 16t-2 → a= 16.1t1-1 → a=16