ATPS CALCULO

Introdução

Veremos neste trabalho uma das diversas aplicações do estudo das derivadas, que por definição representam a taxa de variação de uma função.O conceito de velocidade está intimamente ligado à variação da posição. Se a posição de um objeto muda com o tempo, ele está animado de velocidade. Se ele está em repouso, sua velocidade é nula.

Digamos que, no tempo t1, a partícula estava em x1 e que, no instante t2, ele está em x2. Admitiremos t2 > t1.

Assim, no intervalo de tempos t1 dado por

,

houve uma variação da posição, , dada por

.

Definimos então a velocidade escalar média como a razão entre a variação da coordenada e o intervalo de tempo decorrido:

.

Observe-se que a velocidade escalar média sempre faz referência a dois instantes de tempo (por isso, falamos em média). No entanto, a velocidade na qual temos maior interesse é a velocidade num determinado instante de tempo. Tal velocidade é denominada velocidade instantânea.

Para definirmos a velocidade instantânea, devemos recorrer a um conceito matemático conhecido como limite.

Observemos que a velocidade média é definida tomando-se dois instantes de tempo. Para defini-la num determinado instante, basta tomarmos intervalos de tempo cada vez menores. Dessa forma estamos assegurando que, cada vez mais, não exista diferença entre t2 e t1. Portanto, estaremos falando, ao tomarmos o limite no qual tende a zero, de um só instante de tempo.

Definimos, portanto, a velocidade instantânea no instante t1 através do processo limite:

.

O processo limite definido acima tem o nome de derivada da função x(t) com respeito ao tempo e se representa:

.

Conforme orientado ,criamos uma função para podemos desenvolve-la e aplicar os conceitos absorvidos:

S(t) = t^2 -14t+48

(lim)┬(h→0) (f(t+h)^ -f(t))/h

(lim)┬(h→0) ((t+h)^2-14(t+h)+48-(t^2-14t+48))/h

(lim)┬(h→0) ((t^2+2th+h^2 )-14t-14h+48-t^2+14t-48)/h

(lim)┬(h→0) (lim)┬(h→0) (2th+h^2-14h)/h

(lim)┬(h→0) (h(2t+h-14))/h

(lim)┬(h→0) 2t+h^ -14

(lim)┬(h→0)+2t+h-14

(lim)┬(h→0) 2t-14

Assim obtendo a função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço):

V(t)=2t-14

Derivando novamente obtemos a aceleração:

(lim)┬(h→0) (f(t+h)^ -f(t))/h

(lim)┬(h→0) (2(t+h)^ -14-(2t-14))/h

(lim)┬(h→0) (2t+2h-14-2t+14)/h

(lim)┬(h→0) 2h/h

A=2m/s²

GRÁFICO

Equação t²-14t+48=0 :

t=(-b±√(b^2-4ac))/2a

t=(-(-14)±√(〖(-14)〗^2-4(1)(48)))/(2(1))

t=(14±2)/2

t'=8