ATPS CALCULO

Faculdade Anhanguera-Uniderp de Campo Grande-MS

Curso de Engenharia Civil Turma N44 Noturno

ATPS – Etapas 1 e 2

Trabalho 2

Disciplina: Equações diferenciais e Séries

Professora: Katiane de Moraes Rocha

Aluno: Reginaldo Gonçalves RA: 6017377261

Aluno: Johnny Brites RA: 6019400555

Aluno: Thais Atahides RA: 5945240266

Aluno: Vera Oliveira RA: 5403985728

Aluno: Kaique Viana RA: 3934771385

Aluna: Evellin Renata RA: 6020387181

Campo Grande, MS Novembro de 2014

Etapa 1

Passo 1:

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Passo 2:

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso, o meio deintegrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Método de conjecturar e verificar

Uma boa estratégia para se encontrar primitivas simples é fazer uma conjectura de qual deve ser a resposta e depois verificar sua resposta derivando-a. Se obtivermos o resultado esperado, acabou. O método de conjecturar e verificar são útil na inversão da regra da cadeia.

Método por substituição

Quando o integrado e complicado utilizamos essa técnica para formalizar o método de conjeturar e verificar da seguinte maneira

Dw = w´(x) dx = (dw/dx) dx

No método de substituição parece que tratamos dw e dx como entidades separadas, até cancelando-as da equação dw= (dw/dx)dx.

Método Por partes

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto.

Passo 3:

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Equações diferenciais lineares de variáveis separáveis:

A equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 será de variáveis separáveis se:

- M e N forem funções de apenas uma variável ou constantes.

- M e N forem produtos de fatores de uma só variável.

Isto é, se a equação diferencial puder ser colocada na forma P(x)dx + Q(y)dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Uma equação diferencial de variável separada é uma equação do tipo:

g(y) dy = f(x)dx

A solução geral da equação diferencial de variável separada obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação, ou seja,

∫g(y)dy = ∫f(x)dx+C.

Chama-se equação de variáveis separáveisuma equação do tipo:

F1 (x)h1 (y)dx = f2(x)h2 (y)dy

Na qual o coeficiente associado a cada diferencial se pode fatorizar em funções, dependentes só de x ou só de y.

Dividindo ambos os membros pelo produto f2(x)h1(y) a equação fica com as variáveis separadas:

=

E o integral geral dessa equação tem a forma

ʃ = ʃ +C

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem:

Chama-se equação diferencial linear de 1ª ordem a uma equação da forma

y'+P(x)y =Q(x) onde P e Q são funções contínuas de x num certo domínio D ⊂ IR.

É usual designar por equação completa aquela em que Q(x) ≠ 0enquanto que a equação se chama homogênea, se Q(x)= 0.

A resolução destas equações pode enquadrar-se da seguinte forma:

Se Q(x)= 0, a equação é de variáveis separáveis.

Se Q(x)≠0,a equação admite um fator integrante função sóde x, I(x, y)= e ∫P(x) dx

Como resolver uma Equação diferencial linear de 1ª ordem:

Determinar o fator integrante I (x, y) = e ∫P(x) dx Multiplicar a equação diferencial por este fator integrante, isto é

e∫P(x) dx (y’+ P(x)y)= e ∫P(x) dxQ(x)

Note que o primeiro membro da equação acima é igual a

(ye∫P(x)dx)

Integrar ambos os membros em ordem a x, ou seja,

ye∫P(x)dx= ∫ Q( x) e ∫P(x) dxdx

Passo 4:

Pesquisar, em livros, artigos e sites, sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais

Os circuitos elétricos são basicamente formados por componente lineares passivos: resistores de resistência R(ohm) indutores de indutância L(Henry), capacitores de capacitância C(farad) e uma fonte elétrica cuja diferença de potencial é indicada pela letra v(t)

Para modelar um sistema elétrico precisamos conhecer os seus componentes elétricos passivos.

Relação elementar de voltagem:

Resistor (Lei de Ohm)

eA – eB = R iR

Indutor

eA – eB = L

Capacitor

eA – eB =

L: Indutância, R: Resistência, C: Capacitância

A modelagem matemática de um sistema elétrico simples é feita aplicando-se as Leis de Kirchhoff: a Lei dos Nós e/ou a Lei das Malhas

Modelagem Matemática pelo Método dos Nós.

Aplica-se a Lei dos Nós a cada nó do circuito elétrico:

A soma das correntes que entram em um nó de um circuito elétrico é igual àsoma das correntes que saem do mesmo nó

Modelagem Matemática pelo Método das Malhas.

Aplica-se a Lei das Malhas a cada malha do circuito elétrico:

A soma das quedas de voltagem em uma malha de um circuito elétrico é igual àsoma das voltagens que são introduzidas na mesma malha.

ETAPA 2

Passo 1:

Escolher um dispositivo cujo circuito elétrico será estudado. Identificar os elementos desse circuito e determinar a função de cada elemento no referido circuito.

Um circuito resistor-capacitor/condensador (circuito RC), filtro RC ou malha RC, é um dos mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógicos. Ele consiste de um resistor e de um capacitor/condensador, podendo estar ligados tanto em série quanto em paralelo, sendo alimentados por uma fonte de tensão. Existem três componentes básicos de circuitos analógicos: o resistor (R), o capacitor/condensador (C) e o indutor (L). Estes podem ser combinados em quatro importantes circuitos, o circuito RC, o circuito RL, o circuito LC e o circuito RLC, com as abreviações indicando quais componentes são utilizados Resistor (R): tem a finalidade de transformar energia elétrica em energia térmica por meio do efeito joule, ora com a finalidade de limitar a corrente elétrica em um circuito.

Capacitor (C): é um componente que armazena energia num campo elétrico,acumulando um desequilíbrio interno de carga elétrica.

Indutor (L): Um indutor é um dispositivo elétrico passivo que armazena energia na forma de campo magnético, normalmente combinando o efeito de vários loops da corrente elétrica.

Passo 2:

Transformar, se possível, o circuito elétrico escolhido em um circuito equivalente, observando, para isso, as associações em série ou em paralelo de seus elementos (resistores e capacitores, por exemplo).

O circuito RC paralelo é geralmente de menor interesse que o circuito série. Isto ocorre em maior parte pelo fato de a tensão de saída ser igual à tensão de entrada . Como resultado, este circuito não atua como um filtro no sinal de entrada, a menos que este seja alimentado por uma fonte de corrente.

Para uma saída de passo (que é efetivamente um sinal de 0 Hz, ou CC), a derivada da saída é um impulso. Desta maneira, o capacitor atinge a carga completa muito rapidamente e se torna o equivalente a um circuito aberto.

Passo 3:

Representar o circuito elétrico (ou o circuito equivalente) escolhido em um diagrama, com base na simbologia dos elementos elétricos.

Circuito RC série

Passo 4:

Modelar o circuito elétrico observando as técnicas de equações diferenciais, detalhando cada etapa da modelagem.

Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, capacitores e indutores. As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que estabelecem:

• A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é

igual a zero.

• A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero.

Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se

soluciona a Função de Transferência.

C dv/dt + v/R = 0 dv/dt + 1/RC v = 0

CIRCUITOS ELÉTRICOS

1. INTRODUÇÃO

O estudo de circuitos elétricos se divide em circuitos de corrente contínua e circuitos de corrente alternada. Os circuitos de corrente contínua são assim chamados por possuírem uma ou mais fontes de tensão e/ou corrente contínua. Os circuitos de corrente alternada são normalmente alimentados por fontes de tensão e/ou corrente senodais. O estudo de circuitos de corrente contínua se baseia no cálculo de tensões e correntes em circuitos compostos por associações de resistores e fontes de tensão e/ou corrente contínua.

2. FONTES DE TENSÃO

A fonte de tensão representa o dispositivo que é capaz de fornecer uma diferença de potencial, e permitir que com esta diferença de potencial ocorra o estabelecimento de uma corrente elétrica.

O equivalente no meio hidráulico é representado pela caixa d’água das casas. Esta sempre estará em um lugar mais alto da construção de forma a permitir uma diferença de nível, e portanto garantir que a água seja forçada a passar pelo caminho hidráulico ( canos ) até o chuveiro, a pia, etc.

Da mesma forma que a diferença de nível, no exemplo anterior é fundamental para forçar a passagem da água, no caso elétrico a diferença de potencial é fundamental para que exista uma circulação de elétrons no caminho elétrico ( fiação ) até os aparelhos elétricos. Para garantir que exista uma circulação continuada necessitamos de certos dispositivos elétricos, tais como as pilhas, baterias, alternadores e dínamos, que são capazes de gerar uma diferença de potencial em seus terminais e fornecer elétrons para os equipamentos a eles conectados. Esses aparelhos são chamados de fontes de força eletromotriz, abreviadamente f.e.m (símbolo ε). A unidade de força eletromotriz é o volt.

A série de Fourier, nomeada em honra à Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), é a representação de uma função periódica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo período 2π) como uma soma de funções periódicas da forma

que são harmônicas de ei x. De acordo com a fórmula de Euler, as séries podem ser expressas equivalentemente em termos de funções seno e co-seno .

Fourier foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries infinitas, após investigações preliminares de Euler, D'Alembert, e Daniel Bernoulli. Ele aplicou estas séries à solução da equação do calor, publicando os seus resultados iniciais em 1807 e 1811, e publicando a sua Théorie analytique de la chaleur em 1822. De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier são algo informais, em boa parte devido à falta de uma notação concisa de funções e integrais nos inícios do século XIX. Mais tarde,Dirichlet e Riemann expressaram os resultados de Fourier com grande precisão e rigor formal.

Muitas outras transformadas de Fourier foram definidas desde então, estendendo a outras aplicações a ideia inicial de representar qualquer função periódica pela sobreposição de harmónicas. A área genérica destes estudos é hoje por vezes definida como a análise harmónica.

Séries de Fourier são formas de representar funções como soma de exponenciais ou senóides.

As séries de Fourier podem ser calculadas pela forma trigonométrica ou pela forma complexa.

Forma Complexa:

onde:

Forma Trigonométrica:

Sendo:

Então:

onde:

Para funções ímpares , e para funções pares .

Exercício 1:

Dada uma função periódica de período 2ᴫ definida como segue: f(x) = x² onde -ᴫ < x < ᴫ,calcular os coeficientes de Fourier e escrever a série trigonométrica:

Ao= 1/(π ) ∫_(-π)^π▒〖x² dx〗 =>1/(π ) .(x³ )/3│=>[π^3/3+π^3/3]=>(2π^3)/3π=>2π²/3

An= 1/π ∫_(-π)^π▒〖x^2 cos⁡(nx)dx=>1/π〗 [(x^2 sen(nx))/n-∫_(-π)^π▒(sen(nx))/n .2x dx ]

=1/π [x² .(sen(nx))/n+ (2xcos(nx))/n² - 2/n^3 sen(nx)] =>An = 1/π [(4πcos⁡(nπ)/n²]

={█((-4)/n²@4/n²)┤ (n=1,3,5)/(n=2,4,6)

Bn=1/π ∫_(-π)^π▒〖x^2 sen(nx)dx〗 =>1/π [-x².(cos⁡(nx))/n+ (2xsen(nx))/n²+ 2/n³ cos⁡(nx)]=0

F(x)=x² = π²/3-4/1² cos⁡(1x)+ 4/2² cos⁡(2x)- 4/3² cos⁡(3x)+ 4/4² cos⁡(4x). . .

Exercício 2:

Dada uma função periódica de período 2ᴫ definida como segue, calcular os coeficientes de Fourier e escrever a série trigonométrica:

f(x)= {█(x,-π≤x≥0@2x,0<x≤π)┤

Ao= 1/π ∫_(-π)^π▒〖fx dx=>1/π〗.[∫_(-π)^0▒〖x dx+∫_0^π▒〖2x dx〗〗]=>1/π [x²/2 ∫_(-π)^0▒〖+x²∫_0^π〗]=>1/π [-π²/2+π²]=>π²/2π=π/2

An=1/π [∫_(-π)^0▒〖xcos(nx)dx+∫_0^π▒2xcos(nx)dx〗]=>1/π [1/n^2 cos⁡(nπ)-1/n^2 ]

=2/(πn^2 ),1,3,5

Bn=1/π [∫_(-π)^0▒〖xsen(nx)dx+∫_0^π▒2xsen(nx)dx〗]

=1/π-3πcosnπ/n={█(3/n=1,3,5@@-3/n=2,4,6)┤

=>f(x)=π-2/π cosx+3senx-2/9π cos⁡(3x)-3/2 sen(2x)+. . .

Campos de Direção

É impossível resolver a maioria das equações diferenciais no sentido de obter uma fórmula explícita para a solução. Mesmo sem uma solução

explícita, podemos ainda aprender muito sobre uma solução através de uma abordagem

gráfica (campos de direção). Suponha que peçam para esboçarmos o gráfico da solução do problema de valor inicial dy/dx= x + y, y (0) = 1

Não conhecemos uma fórmula para a solução, então como é possível que

esbocemos seus gráficos? Vamos pensar sobre o que uma equação diferencial significa.

A equação y′ = x + y nos diz que a inclinação em qualquer ponto (x,y) no gráfico

(chamado de curva solução) é igual a soma das coordenadas x e y no ponto (veja

Figura1). Em particular, como a curva passa pelo ponto (0,1), sua inclinação ali deve ser

0 + 1 = 1. Assim uma pequena porção da curva de solução próximo ao ponto (0,1)

parece um segmento de reta curto através de (0,1) com inclinação 1 , conforme figura 2:

Como um guia para esboçar o resto da curva, desenhamos segmentos de reta em um número de ponto (x,y) com inclinação x + y. O resultado, chamado de campo de direções, é mostrado na Figura3. Por exemplo, o segmento de reta no ponto (1,2) tem

inclinação 1 + 2 = 3. O campo de direções nos permite visualizar o formato geral das

curvas de solução pela inclinação da direção na qual as curvas prosseguem em cada

ponto.

Podemos esboçar a curva de solução pelo ponto (0,1) seguindo o campo de

direção como na Figura 4. Note que desenhamos a curva de modo a torná-la paralela

aos segmentos de reta vizinhos. Em geral, suponha uma equação diferencial de primeira ordem do tipo y′ = F(x, y) onde F(x,y) é alguma expressão em x e y. A equação diferencial diz que a inclinação da curva solução no ponto (x,y) na curva é F(x,y). Se desenharmos os pequenos segmentos de reta com inclinação F(x,y) em vários pontos (x,y), o resultado será chamado de campo de direções (ou campo de inclinações). Esses segmentos de reta indicam a direção na qual uma curva solução está seguindo, assim o campo de direções nos ajuda a visualizar o formato geral dessas curvas.

Exemplo

a)Esboce o campo de direções para a equação diferencial

y′ = x² + y² −1 .

b) Use a parte (a) para esboçar a curva solução que passa pela origem.

Resolução:

a) Podemos começar calculando a inclinação em vários pontos na seguinte tabela:

Agora podemos desenhar pequenos segmentos de reta com essas inclinações nesses

pontos. O resultado é o campo de direções mostrado na Figura 5.

b) Podemos começar na origem e mover para a direita na direção do segmento de

reta (que tem inclinação -1). Continuamos a desenhar a curva solução de

maneira que ela se move paralela aos segmentos de reta próximos. A curva

solução resultante é mostrada na Figura 6. Voltando para a origem, desenhamos

a curva solução para a esquerda da mesma maneira.