ATPS Calculo

RESUMO

Nesse trabalho abordaremos métodos para o cálculo de extração de petróleo de uma bacia petrolífera. Utilizando informações hipotéticas, calcularemos a quantidade total mensal, que pode ser extraído de um reservatório gigantesco na bacia de Santos, recém-descoberto pela empresa Petrofuels.

Para tanto, quatorze desafios são propostos nesta ATPS. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

A partir da orientação da professora Carlota, usamos os cálculos de integração para superar os desafios propostos pela ATPS, e chegar ao valor correto do que pose ser extraído do reservatório.

 

ETAPA 1

Passo 1

HISTÓRIA DOS CÁLCULO INTEGRAL

Desde tempos antes de Cristo, muitos matemáticos auxiliaram na construção gradativa do cálculo moderno. Em 1800 a.C foi encontrado um papiro egípcio chamado “papiro de Moscou”, que demostra o uso do cálculo integral para calcular áreas e volumes.

Em 225 a.C surgiu o Teorema de Arquimedes, este foi criado pela necessidade de calcular áreas e volumes de figuras curvilíneas, pois estas não se enquadravam na forma que eles utilizavam para achar a área, que se baseava em um figura plana reta, que por intermédio do cálculo de uma figura quadrada, conseguiam achar. A forma que eles utilizavam para calcular área de figuras curvilíneas era ir dividindo a figura em muitas partes, e calcular uma por uma, o que ficou conhecido como método da exaustão. Foi quando Arquimedes revolucionou, ele descobriu que quando a área de uma região limitada é cortada por uma corda qualquer é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Assim ele gerou a forma de calcular com infinitos termos, conseguindo provar o seu resultado rigorosamente. Este foi o primeiro exemplo de soma infinita que foi resolvido.

Na idade antiga e média houve notável desenvolvimento do cálculo com distintos matemáticos como: Eudoxus (408-355 a.C); Arquimedes (287-212 a.C); Liu Hui (séc. III); Aryabhata (séc. XV); Bhaskara (séc. XII). E outros de grande influência nessa história. No entanto, somente na modernidade, na segunda metade do séc. XVII houve a compilação de todas as informações que deram origem ao cálculo moderno.

Este trabalho foi feito por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, que desenvolveram seus trabalhos simultaneamente, e separadamente e chegaram por caminhos distintos ao mesmo ponto, o cálculo integral e diferencial.

Leibniz foi acusado de plágio por Newton que publicou sua obra primeira, mas um exame detalhado de suas obras mostra que Newton não foi plagiado. Leibniz iniciou seu trabalho pela integração e Newton pela diferenciação. Leibniz criou a notação que é usada até hoje (notação de Leibniz), e também é considerado o pai do cálculo e Newton foi quem utilizou pela primeira vez o cálculo na física. O fato de estes matemáticos entrarem em grande controvérsia manteve a Alemanha e a Inglaterra numa disputa pelo desenvolvimento do cálculo integral.

No século XIX o cálculo foi tratado com muito mais rigor metódico, foram escritos os primeiros livros sobre o assunto. Os matemáticos mais influentes que escreveram foram: Lebesque; Cauchy; Riermann; Weierstrass; e Maria Gaetana Agnesi. Esta última, mulher, foi a mais notável ilustre desses influentes, ela foi a primeira a unir essas duas teorias e escreveu um livro o livro intitulado “Cálculo Diferencial e Integral”, que desde então foi difundido para todo o mundo.

Passo 2 – Resolver as integrações dos desafios de A a D

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫▒〖(a^3/3〗+3/a^3 +3/a)da a^4/12 ∫▒〖〖3a〗^(-3)+〖3a〗^(-1) da〗

a^4/12-3/a^2 +3 ln⁡|a|+C

Resposta: letra b)

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C(0)= 10.000

C'(q) =1000 + 50q

C(q)= ∫▒〖1000+50q〗

C(q)=1000q+〖25q〗^2

C(q)+C(0)

10000+1000q+〖25q〗^2

Resposta: letra a)

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo