ATPS Calculo 2

Passo 1 (Aluno)

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com . Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo

Joao – 0 jotan – 5 joao - 1

jotan – 8 joao – 3 calil - 1

Somatória dos RA`s = 18

a=18m/s2 a=18t-4

s=3t2-2t2 a=18.1,222-4

s`=9t2-4t a=18m/s2

v=9t2-4t

v`=18t-4t

Velocidade instantânea

É a taxa de variação da posição de um corpo dentro de um intervalo de tempo infinitesimal (na prática, instantâneo). Define-se velocidade instantânea ou simplesmente velocidade como sendo:

Podemos falar também de uma rapidez instantânea, que seria o módulo do vetor velocidade em um dado instante de tempo .

Aceleração média e instantânea

Aceleração é a taxa de variação da velocidade de um corpo em um dado intervalo de tempo. Assim como a velocidade, ela apresenta suas interpretações em situações mais globais (aceleração média) e em situações mais locais (aceleração instantânea). Elas são definidas como:

(aceleração média)

(aceleração instantânea)

* Velocidade instantânea

Fica claro que, quanto menor é o intervalo de tempo t2 - t1, mais precisa é a descrição dada pela velocidade média. Se o tempo for de dez anos, alguém podería ter conhecido o mundo todo antes de voltar para casa nesse período (e parecería à velocidade média que ele quase não se deslocou). Mas se o tempo foi de um segundo, a pessoa não pode ter feito tanta coisa assim. Isso nos leva a desejar a formulação do conceito de "velocidade instantânea", ou seja, algo análogo à velocidade média, mas com uma precisão infinita. Para aumentar a precisão da velocidade, é preciso considerar tempos cada vez menores, ou seja, valores de t2 arbitrariamente próximos de t1. Assim, usamos a operação matemática conhecida como "limite": a velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando t2 tende a t1. Ou seja:

A operação acima descrita é chamada uma "derivada". Se temos uma função qualquer f(t), então a derivada de f(t) no ponto t1 é:

Ou, se definirmos t2 = t1+h,

Assim, fica claro que a velocidade instantânea v(t1) é a derivada da função x(t) no ponto t1. Ou seja, A velocidade instantânea é a derivada temporal da posição.

Em outras palavras, a velocidade é a taxa de variação da posição: quanto maior a velocidade, mais rápido a posição varia. Se a velocidade for positiva, a posição muda no sentido que foi definido como positivo para a posição (veja a seção "Partículas e o movimento sobre uma reta") . Se for negativa, a posição muda no sentido inverso: o que foi definido negativo para a posição.

* Relação entre velocidade média e velocidade instantânea

Este trecho supõe que o leitor entenda o conceito de integral. A partir da equação

Podemos integrar os dois lados em relação a t, de modo a obter

Com a condição v(0) = v0, fica claro que C = v0, ou seja

E sabemos que

Então, integrando os dois últimos membros, temos

Agora, substituindo isso na definição da velocidade média

temos

Também podemos exprimir este resultado em relação à velocidade instantânea.

Que é uma relação interessante, e expande o significado físico da velocidade média.

Série Harmônica

A série harmónica é definida conforme:

Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural.

Se se definir o n-ésimo número harmónico tal que

então