ATPS Calculo 3 - 1 E 2

Cálculo de área

A integral definida é utilizada para calcular a área entre uma curva – geralmente o gráfico de uma função – e o eixo x em um intervalo [a, b], mas ela também pode ser utilizada para calcular a área entre duas curvas que estejam no mesmo plano cartesiano.

Dadas duas funções, f(x) e g(x), ambas contínuas no intervalo [a, b], se f(x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b (ou seja: o gráfico de f(x) está acima do de g(x)), a área da região limitada superiormente pelo gráfico de f(x), inferiormente por g(x) e lateralmente por a e b pode ser calculada através de .

Essa fórmula é válida para quaisquer que sejam as funções f(x) e g(x). Se ambas estiverem acima do eixo x, basta ver que a fórmula representa a diferença da área entre a função superior e o eixo e da área entre a função inferior e o eixo – mas a fórmula é a mesma se uma função estiver acima e outra abaixo do eixo x ou as duas estiverem abaixo das abscissas.

É de fundamental importância que se saiba os valores de a e de b para que possa calcular a integral definida. Em alguns problemas, esse valor poderá ser dado, mas, na maioria das vezes, apenas serão informadas as leis das funções. Para encontrar a e b neste caso, como f(x) ≥ g(x), f(x) está acima de g(x), o que significa que os gráficos poderão se interseccionar e será nessa(s) intersecção(ões) que encontra-se os limites laterais da nossa área de integração.

Para encontrar esses limites, deve-se igualar f(x) e g(x). Se ambas as funções estiverem escritas em função da mesma variável, basta igualá-las. Por exemplo, para encontrarmos as intersecções de y = x2 e y = x + 6, tudo que temos a fazer é igualar as duas funções, obtendo x2 = x + 6, ou seja, x2 – x – 6 = 0 e resolver a equação, o que dará x = 2 e x = 3, que são os valores de a e de b que se precisa para resolver o problema. No entanto, pode acontecer de uma função estar em termos de y e outra estar em termos de x. Neste caso, precisa-se colocar as duas na mesma variável: ou colocar a que está em termos de y em termos de x ou a que está em x em termos de y. Tudo vai depender daquilo que for mais conveniente, pois, dependendo da função, pode acabar com duas ou mais funções após a conversão – típico de quando há algo elevado ao quadrado, o que obriga a dividir a solução do problema em partes. É de fundamental importância, também, esboçar os gráficos das funções envolvidas para saber qual é a que está acima e qual é a que está abaixo – pois a resposta pode não ser óbvia e não respeitar a ordem dada no exercício.

Integral definida: Volume de Sólido de Revolução

Algumas aplicações da engenharia em estática, considerando um corpo extenso, e com distribuição continua de massa, uniforme ou não é necessário determinar-se e momento de inércia, centroide tanto de placas como de sólidos.

Neste sentido é necessário o conhecimento de cálculo para determinação de volumes e áreas superficiais. Neste caso usa-se o método para cálculo do volume de revolução de um sólido.

Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma área plana em torno de uma reta chamada eixo de rotação, contida no plano. O volume de sólido de revolução pode ser calculado por três métodos:

1.

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