ATPS Calculo 3

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1

O Cálculo Diferencial e Integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente Cálculo, é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido).

O Cálculo auxilia em vários conceitos e definições na matemática, química, física clássica, física moderna e economia. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente três "operações-base", ou seja, possui áreas iniciais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais. Foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

Com o advento do "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. De acordo com Isaac Barrow, professor de Isaac Newton, esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos.

Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetos podem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos". Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância de zero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zero é positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal.

Passo 2

Leiam os desafios propostos.

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫(a^3/3+3/a^3 +3/a)da

∫▒〖3/a^3 +3/a+a^3/3 da=〗

3∫▒〖1/a^3 da+1/3 ∫▒〖a^3 da〗+3∫▒1/a da=〗

a^4/12+3∫▒〖1/a^3 da+3∫▒1/a da=〗

a^4/12-3/〖2a〗^2 +3∫▒1/a da=

a^4/12-3/〖2a〗^2 +3ln⁡〖(a)〗+C

Alternativa “B”

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal C’(q) = 1000+50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

C´(q) = 1000+50q

∫(1000+50q) dq

25q^2+1000q+С

C(0) = 10.000 (q=0)

1000 *0+25*0²+C=10.000

C =10.000

1000q +25q²+10.000

Alternativa “B”

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por:

C (t) = 16,1*e^0,07t

Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

1990 = instante inicial t = 0

1992 – 1994 = 2 anos = 24 meses

a = 0 e b = 24

f(x)=(∫_a^b▒f(x)dx)/(b-a)

∫_0^24▒(16,1*e^0,07t)/(24-0) dt

= 41,83 bilhões de barris de petróleo.

Alternativa “E”

Desafio D

A área sob a curva y=e^(x/2) de x=-3 a x=2 é dada por:

4,99

3,22

6,88

1,11

2,22

Calculo de área:

A=∫_a^b▒█(f(x)dx=F(a)-F(b) )

∫_(-3)^2▒█(e^(x/2) ) dx=(-3)-(2)=4,99

Alternativa “A”

Passo 3

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Desafio A

Escolhemos como resposta a alternativa "b" devido aos cálculos de resolução através da integração dos dados do exercício. Associamos ao nº 3

Desafio B

Chegamos