ATPS Calculo 3

ETAPA 1:

Passo 1:

O desenvolvimento do cálculo tem como origem problemas de cubatura e quadratura, respectivamente, determinar o volume exato de um sólido tridimensional onde suas extremidades são superfícies curvas e encontrar áreas exatas bidimensionais onde suas extremidades são curvas.

Historicamente, Hipócrates cerca de 440 A.C. desenvolveu suas primeiras quadraturas sobre quando encontrou a área de certas lúnulas (regiões que se parecem com a lua em seu 4° crescente). Antiphon cerca 430 A.C. disse que poderia “quadrar o círculo” somente com uma sequencia de polígonos regulares, mas jamais poderia terminar o processo pelo número infinito de polígonos, que ficou conhecido como método de exaustão. Não conseguiria alcançar a exatidão pois o correto seria usar o conceito moderno de limite. Duzentos anos depois Eudoxo, desenvolveu a ideia inicial de Antiphon mas ainda sem sucesso completo.

Arquimedes (287 a 212 A.C.) que foi o maior matemático dessa época encontrou a quadratura da parábola pelo método de exaustão. Ele utilizou triângulos de forma engenhosa que formasse a área desejada e usou da redução para provar o resultado rigorosamente e evitar erros metafísicos. Também possui o famoso resultado 3 10/71 < p < 3 1/7, mas como existia aproximações do valor real estas não foram consideradas quadraturas. Este resultado refinou a técnica de exaustão criada por Hipócrates.

Durante o período medieval no ocidente William Heytesbury (1335), estudioso do Merton College, em Oxford, foi o primeiro estudioso a determinar métodos para a determinação da velocidade e a distância percorrida por um corpo com a “aceleração uniforme”. Nos dias de hoje, estes resultados são encontrados através de duas integrais indefinidas ou antiderivadas. Nicole Oresme (1320 a 1382), representou a velocidade e o tempo com retas de tamanhos variados onde colocou as mesmas juntas verticalmente sobre uma reta base horizontal e a configuração total representava a distancia total. A partir disso essa configuração ficou conhecida como “quantidade total de movimento” do corpo, disto originou-se os gráficos modernos e o nascimento da cinemática.

Roberval e Pascal foram os primeiros a desenvolver as funções seno, cosseno e a encontrar as quadraturas no primeiro quadrante. Pascal também aproximou integrais duplas e triplas utilizando somas triangulares e piramidais.

Gregory St. Vincent (1584 a 1667) determinou a área da hipérbole xy = 1, ele utilizou retângulos inscritos e circunscritos de larguras diferentes desenhados especialmente e o método de compressão. Alfonso Antonio Sarasa (1610 a 1667) confirmou que a quadratura da hipérbole está ligada a propriedade do produto do logaritmo.

Hendrick van Heuraet (1634 a 1660) especializou sua teoria somando tangentes infinitésimas a uma curva, assim desenvolvendo o método moderno de retificação que utiliza uma integral para encontrar o comprimento de um arco.

O último trabalho Isaac Newton (1642 a 1727) e o primeiro a ser publicado foi: "On the Quadrature of Curves" (Sobre Quadratura de Curvas), escrito entre 1691 e 1693, mas apenas publicado na edição de 1704 do seu Opticks. Newton em sua obra montou uma tabela de integrais de funções algébricas complicadas para as quais não poderia utilizar fórmulas de integração. Com o Teorema Fundamental do Cálculo, ele desenvolveu técnicas básicas para avaliar integrais hoje em dia que inclui métodos de substituição e integração por partes.

Leibniz usou o “S” alongado para a integral e tem sua origem do latim summa e o d também do latim que quer dizer differentia, e, permanecem até hoje nas notações de cálculo básicas. Leibniz acreditava que os cálculos seriam mais confiáveis se fossem feitos dessa forma.

As quadraturas não podiam ser encontradas usando o Teorema Fundamental do Cálculo, apenas eram aproximações. Todos os esforços estimularam o interesse no século 18 na faturação e resolução de equações polinomiais de graus elevados.

Euler fez cálculos mais analíticos que geométricos, com ênfase em funções, mas houve confusão com o conceito de função, propriamente dito no século 18.

Funções descontínuas foram impostas na comunidade matemática e científica por Joseph Fourier (1768 a 1830) na sua obra Analytical Theory of Heat (Teoria Analítica do Calor,1822).

Augustin Louis Cauchy (1789 a 1857) assumiu para os seus alunos de engenharia a reforma total do cálculo na década de 1820, a integral era uma de suas pedras fundamentais.

Dirichlet é responsável pela definição moderna de função (1837). Grande parte do desenvolvimento da teoria de integração foi verificada por Riemann e outros, mas ainda com dificuldades com integrais infinitas.

Passo 2

Desafio A:

Resolver a integral ao lado e indicar qual a alternativa correta: ∫▒〖a^3/3+3/a^3 +3/a da〗

Resolução:

∫▒〖a^3/3 da+〗 ∫▒〖3/a^3 da+〗 ∫▒〖3/a da〗 (a^(3+1)/3)/(3+1) ∫▒da + 3 X a^(-3+1)/(-3+1) ∫▒da + 3ln|a|

a^4/12 - 3/〖2a〗^2 + 3ln|a| + c

Portanto a resposta se refere a alternativa (b).

Desafio B:

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de

U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a

profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o

custo total para se perfurar q pés, é:

Custo total será o custo fixo mais o custo marginal, portanto:

C’(q) =1000 + 50q ∫▒〖1000+50q dq〗 ∫▒〖1000 dq〗 +∫▒〖50q dq〗

1000q ∫▒dq + 〖50q〗^(1+1)/(1+1) ∫▒dq 1000q + 25 q²+c

Portanto o resultado será: C(q) = 10000+1000q+25q², e desta forma está correta a alternativa (a).

Desafio C:

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)=16,1 x e^0,07t