ATPS Calculo I

Definição de Derivada

A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos.

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.

Temos muito do que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos.

Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos. Trata-se da derivação, um processo destinado a analisar as variações no comportamento de um conjunto de dados numéricos, largamente utilizado hoje em dia.

Introdução

Seja uma reta definida pelos pontos (x1,y1) e (x2,y2). Existe uma relação entre as coordenadas dos dois pontos que expressa à inclinação da reta;

Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte razão:

m (y2-y1)/(x2-x1)

O resultado desta relação é um número que expressa quanto à reta está inclinada comparada com o eixo x (das variáveis independentes).

O coeficiente m é constante para qualquer segmento de uma reta, este é visivelmente igual à tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo x.

Agora imagine o que teríamos se ao invés de uma reta tivéssemos uma curva. Em uma função onde os pontos não acompanham uma linha reta, geralmente temos diferentes valores de m para cada par de pontos que tomamos para fazer o seu cálculo, isso se deve ao fato de que a inclinação varia de acordo com o contorno da curva, o que nos sugere que cada pequeno segmento da curva possui um m diferente.

Considerando a função f(x), teríamos sobre o seu gráfico os pontos:

(x1,f(x1))

(x2,f(x2))

podemos fazer:

x2 = x1 + Δx

e teríamos:

m=(f(x1+∆x)-f(x1))/∆x

Esta relação nos dá a inclinação de cada segmento de reta formado por um ponto (x,f(x)) e outro estabelecido pela distância Δx, que nos fornece: (x + Δx,f(x + Δx)). Podemos, a partir desta equação, encontrar os valores de m e verificar qual a inclinação aproximada da curva para cada ponto; note que quando diminuímos o módulo de Δx a equação se torna mais precisa, no sentido de fornecer uma melhor aproximação para o coeficiente angular de um pequeno trecho da curva, pois cada segmento que é analisado se torna menor, logo temos condições de analisar mais segmentos da curva.

Regras básicas

Para simplificar os métodos de derivação algumas regras básicas são universalmente utilizadas, todas partem do princípio fundamental da definição e podem ser facilmente demonstradas através do limite da definição e teoremas de limites e funções.

Reta tangente em um ponto específico: primeiro encontra-se o coeficiente angular m.

m(x1)=(f(x1+∆x)-f(x1))/∆x

Então com esse coeficiente angular, achar a equação da reta, com os pontos dados no exercício.

Reta normal: é uma reta perpendicular ao ponto em que a reta intercepta a curva.

Reta tangente geral: m(x)=(f(x+∆x)-f(x))/∆x

Suponha que a função f é continua em x1 . A reta tangente ao gráfico de f no ponto P(x1 , f x1 ) é:

a reta que passa por P e tem coeficiente angular m(x1 ), dado por:

m(x_1 )=lim∆_(x->0) (f(x1+∆x)-f(x1))/∆x

a reta X = X_1

Se uma função f é diferenciável em um número x1 , então f é continua em x1.

Derivadas laterais

f^' (x_1 )=f+(x_1 )=f-(x_1)

f é contínua em x1

f não é uma reta vertical em x1

f tem uma mudança brusca de módulo em x1

f^'+( x_1 )=lim┬(x→x1+)⁡〖(f(x)-f(x1))/(x-x1)〗=(f(x)-f(x_1))/(x-x_1 ) lim┬(x→x1-)⁡〖=f_- 〗(x_1)

Teoremas de Derivadas

• Derivada da constante

f(x) = c → f '(x) = 0

• Derivada da potência (potências inteiras positivas)

f(x) = x^n → f ´(x) = nx^(n-1)

•Derivada do produto de uma função por uma constante

g(x) = c . f(x) → g ´(x) = c . f ´(x)

• Derivada da soma

h(x) = f(x) + g(x) → h ´(x) = f ´(x) + g ´(x)

• A derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se estas derivadas existirem.

• Derivada do produto

h(x) = f(x) . g(x) →h ´(x) = f(x) g ´(x) + g(x) f ´(x)

• Derivada do quociente

h(x)=(f(x))/(g(x)) onde g(x)≠0→h´(x)=(g(x) f^' (x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2

• Derivada da potência II (potências inteiras negativas)

f ´(x) = 〖-nx〗^(-n-1)

Derivadas