ATPS DE CALCULO 2

DESENVOLVIMENTO

ETAPA-I

Aula-Tema: Conceito de Derivada e Regras de Derivação

PASSO 1

Passo 1.1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com ∆t→0.

Resposta:

A velocidade instantânea é quando queremos saber qual a velocidade de um determinado objeto em um instante no tempo, fazendo-o tender → 0. Exemplo: Um veiculo percorre em uma via a uma velocidade média de 20km/h, com isso ele percorrera um trajeto de 20km em 1 hora, só que ele estará acelerando e freando durante o percurso. Com isso se quisermos chegar a uma conclusão da velocidade do automóvel durante todo o trecho percorrido e, em cada instante desta 1 hora, usaremos a velocidade instantânea a partir do limite, com PIC.

Exemplo:

• V=Lim ΔЅ = dЅ

• ΔΤ→ 0 ΔΤ dΤ

A velocidade ficara como primeira derivada em relação ao tempo(T)

da função posição Ѕ (Τ).

Exemplo

Certa partícula movimenta-se de acordo com a equação da posição Ѕ= 8Τ². A posição da partícula em 3Ѕ, e a Vm quando ΔΤ→ 0 no mesmo tempo.

dЅ = 8.3² = 72m

Vm= lim d(Ѕ) → lim = d(8t²) → Vm = 28t →

dΤ ΔΤ→ 0 dΤ

Função Vm = 16t → velocidade em relação ao tempo.

3x = Vm = 16.3 → Vm= 48m/s² Vm =f´(x) = Ѕt²

X= f1´(x) = Ѕt

A=16.t = 1.16 = 16m/s²

Passo 1.2

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço), utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em cálculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Resposta:

Na formula aplicada na Física e Cálculo, a velocidade em qualquer instante de tempo é obtida através da velocidade média, reduzindo-a até tender a 0.

V varia conforme diminui o valor de S, desta forma se o valor de S diminui, consequente o valor de T também. Então podemos afirmar que a velocidade é derivada da função espaço.

Fórmula aplicada em Física: [pic]

∆x : é variação de espaço.

∆t : variação de tempo.

Fórmula aplicada em Cálculo: Velocidade Instantânea = [pic]

h : é o intervalo de tempo.

t: é o tempo.

s: espaço

Passo 1.3

Dar um exemplo, mostrado a função velocidade como derivada da função espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo a somatória do último algarismo que compõe o RA dos alunos integrantes do grupo.

Exemplo: x = 8t² - 2t no tempo em 1 segundo.

v= dxdt 8t2-2t

Derivando posição em relação ao tempo: v=8.2t2-1-2.1t1-1 → v= 16t-2

Aplicando no tempo igual a 1 segundo: v= 16.1-2 → v=14 m/s

Derivando velocidade em relação ao tempo: a= dvdt 16t-2 → a= 16.1t1-1 → a=16

A aceleração não varia em nenhum instante.

PASSO -02

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote um gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado. Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

Gráfico S(m) | S(m) x t(s) | V(m/s) x t(s) |

TEMPO | X=8t²-2t | dxdt=16t-2 | dvdt=16

0 | 0 m | -2 m/s | 16 m/s²

1 | 6 m | 14 m/s | 16 m/s²

2 | 28 m | 30 m/s | 16 m/s²

3 | 66 m | 46 m/s | 16 m/s²

4 | 120 m | 62 m/s | 16 m/s²

5 | 190 m | 78 m/s | 16 m/s²

PASSO 03

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade. Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda. Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Na física a aceleração é a taxa de variação (ou derivada em função do tempo) da velocidade. Ela é uma grandeza vetorial, desaceleração é a aceleração que diminui o valor absoluto da velocidade. Com isso, a aceleração precisa ter componente negativa na direção da velocidade. Isso não significa que a aceleração é negativa. Assim a aceleração é a rapidez com a qual a velocidade de um corpo varia. Desta forma o único movimento que não possui aceleração é o MRU . α = dv/dt

Exemplo1:

Dada à função horária dos espaços de um móvel, em unidades do SI, obtenha as funções horárias da velocidade escalar e da aceleração escalar, nos casos:

s = 5 + 4t4 +2t3 - 7t2 + 10t

vm=