ATPS DE CALCULO 3

ETAPA 2

AULA TEMA: Integração por Substituição. Integração por Partes.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a técnica de integração por substituição e por partes, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender a resolver vários tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSO 1

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integração por partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos do Ensino Superior, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração por partes e por substituição.

2.Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

TEXTO DISSERTATIVO.

TEMA: Surgimento Das Técnicas De Intregação Por Partes e Por Substituição.

Os conceitos e a aplicação de integral são importantes na resolução de diversos problemas, como de Física, por exemplo. Aplicamos o conceito de integral na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade nesses instantes. Historicamente, foi a necessidade de calcular áreas de figuras planas com contornos curvos, que provocou o desenvolvimento da integral. Assim, no Cálculo, a integral de uma função foi criada, originalmente, para determinar a área de curvas.

As primeiras idéias de integral, também conhecida como antiderivada, surgiram a partir da concepção geométrica de cálculo de áreas de figuras com o método da exaustão atribuído a Eudoxo (406 - 355 a.C), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C). A primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo matemático francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Mais tarde, o conceito de integral foi sistematizado por Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646-1716) a partir das idéias e dos métodos desses cientistas, surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII.

O processo do cálculo da integral de uma função é chamado de integração. Existem várias definições para a integração. Assim, o conceito de integral pode ser introduzido de várias formas, todas elas tendo em comum a mesma idéia geométrica, mas que se diferenciam pelo rigor matemático utilizado. Em algumas áreas do conhecimento, como a Análise Matemática, esse conceito é apresentado em grau maior de complexidade.

No Cálculo, em geral, o conceito é apresentado de forma menos rigorosa ou formal com o objetivo de simplificar e ampliar a sua compreensão. Independente da forma como o conceito de integral é apresentado, todos apresentam a mesma resposta para o resultado final de uma integração e objetivam resolver alguns problemas

conceituais relacionadas a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Vamos, inicialmente, trabalhar como uma definição, também conhecida como integral indefinida.

Integral Por Substituição

O cálculo da integral indefinida nem sempre é possível com a aplicação da tabela de integrais imediatas. Porém esse cálculo, às vezes, torna-se possível, por meio de uma substituição conveniente da variável inicial.

Vamos conhecer alguns exemplos!

1º exemplo:

Calcule

Resolução: Fazendo u = x + 1, temos:

du = u' ( x ) dx, então,

du = 1dx

Assim,

Retornando à variável inicial x, obtemos:

Observação importante:

Como , então toda integral que puder ser reduzida a esta forma (o numerador é a derivada do denominador ) se calculará a integral como segue.

Integral Por Partes

A integração por partes é um processo que utiliza a fórmula da derivada do produto de duas funções u( x ) = u e v( x ) = v.

Como d( u v ) = udv + vdu, isolando udv, temos: udv = d( uv ) – vdu

Integrando membro a membro, obtemos:

udv = uv - vdu

Esta é a fórmula do método de Integral por Partes udv = uv - vdu

É aplicada para integrar algumas funções do tipo udv, isto é, aquelas em que é possível reconhecer o produto de uma função u( x ) pela diferencial de outra função dv.

PASSO 2

Considerem as seguintes igualdades:

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira ( CORRETO )

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

Passo 3 (Equipe)

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 4, se