Apresente duas Demonstrações do Teorema de Pitágoras

DISCENTES:

KAROLINE OLIVEIRA DA COSTA, MATRÍCULA: 21553968.

LARISSA MAGNO LEÃO, MATRÍCULA: 21551610.

MIKAELA AIRES DE OLIVEIRA, MATRÍULA: 21552015.

PAULO VICTOR BITENCOURT BAGATA, MATRÍCULA: 21553851.

1. Apresente duas demonstrações do Teorema de Pitágoras.

1.1) Demonstração do Teorema de Pitágoras através de triângulos isósceles

Observando a figura, constituída de nove triângulos retângulos isósceles, todos iguais, observamos que, em volta do triângulo central existem três quadrados. Um formado pelo lado correspondente a hipotenusa e os outros dois formados com lados correspondentes aos catetos. Os triângulos retângulos isósceles que formam o quadrado que tem como lado a hipotenusa são os mesmo que formam os quadrados onde os lados são os catetos. Então podemos afirmar que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos quadrados menores.

[pic 1]

1.2) Demonstração com a Fórmula de Heron

Observe a expressão formulada por Heron de Alexandria:

 𝑺 = √𝒑 × (𝒑 − 𝒂) × (𝒑 − 𝒃) × (𝒑 − 𝒄) Onde a, b e c são os lados e p o semi-perímetro.

Se ABC é um triângulo cujos lados medem a, b e c, então a medida da área deste triângulo é dada por:

[pic 2]

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝑨𝑩𝑪 = √𝒑 × (𝒑 − 𝒂) × (𝒑 − 𝒃) × (𝒑 − 𝒄)

Onde:

𝒑 = [pic 3]

Efetuando o produto dentro do radical:

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝑨𝑩𝑪 = √𝒑 × (𝒑² − 𝒂𝒑) × (𝒑 − 𝒃) × (𝒑 − 𝒄)

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝑨𝑩𝑪 =  √𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟐𝒂𝟐𝒄 𝟐 + 𝟐𝒃𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟒 − 𝒃𝟒 − 𝒄𝟒 (𝑰)[pic 4]

Mas, a área, também, se dá pela expressão:

 

𝑨𝒓𝒆𝒂 𝑨𝑩𝑪 =  (𝑰𝑰)[pic 5]

Comparando (I) e (II)

 √𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟐𝒂𝟐𝒄𝟐 + 𝟐𝒃𝟐𝒄𝟐 − 𝒂𝟒 − 𝒃𝟒 − 𝒄𝟒 = [pic 6][pic 7]

𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟐𝒂 𝟐𝒄 𝟐 + 𝟐𝒃 𝟐𝒄 𝟐 − 𝒂𝟒 − 𝒃𝟒 − 𝒄𝟒 = 𝟒𝒃²𝒂²

𝟐𝒂𝟐𝒄 𝟐 + 𝟐𝒃𝟐𝒄 𝟐− 𝒂𝟒 − 𝒃𝟒 − 𝒄𝟒 = 𝟐𝒃²𝒂

Rearmando essa última expressão e efetuando as simplificações, tem-se:

(𝒂 𝟐 + 𝒄 𝟐 − 𝒄²) 𝟐 = 𝟎

𝒄 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒃².

1.  Apresente duas maneiras de obter o número de ouro.

        Dividindo a altura de uma pessoa pela medida do seu umbigo até o chão.

           Dividindo a medida do quadril ao chão pela medida do joelho ao chão.

1. Mostre que existem apenas 5 poliedros de platão.

[pic 8]

[pic 9]

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