Atps Calculo 1

Veremos aqui uma breve revisão de conceitos de álgebra necessários para o estudo do Cálculo. É bom lembrar que você não pode aprender Cálculo sem esses pré-requisitos, principalmente a álgebra, que podemos considerar como a linguagem do Cálculo.

Frações

Abra qualquer livro de Cálculo e, provavelmente, irá deparar-se com uma fração – não tem como fugir delas. Mas, para trabalhar com elas é necessário que você conheça algumas regras que iremos apresentar a seguir.

Regra no 1 A primeira regra é simples, mas muito importante, pois aparece o tempo todo no estudo do Cálculo:

“O denominador de uma fração NUNCA pode ser igual a zero.”

Por exemplo,

0

0

5

=

mas

5 0

é inde inido.

Regra no 2: “O recíproco de um número ou expressão é seu inverso multiplicativo – isso significa que o produto de alguma coisa com seu recíproco é igual a 1.”

Por exemplo,

- o recíproco de

5 4

é

4 5

- o recíproco de 7 é

1 7

- o recíproco de 1 x − é 1 1x −

PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO

Profa. Lena Bizelli

Regra no 3: Multiplicação de Frações

A adição de números reais é bem mais fácil do que a multiplicação, mas no caso de frações a multiplicação é que é mais fácil. Assim, para multiplicar duas frações, basta multiplicar os numeradores e, em seguida, os denominadores.

Por exemplo,

2 5 2 5 10 5 3 4 3 4 12 6 ⋅ ⋅ = = = ⋅

e

a b ab c d cd ⋅ =

Regra no 4: Divisão de Frações

Aprendemos que para dividir uma fração pela outra, é necessário inverter a segunda fração e, em seguida, fazer a multiplicação.

Por exemplo,

(simplifica

10 5 10 4 40 3 4 3

r a expr

5 15 8 3 essão)÷ = ⋅ = =

Observe que a simplificação poderia ter sido feita antes de multiplicar.

2

1

10 10 5 4 8 3 4 3 5 3 // ÷ = ⋅ = /

Regra no 5: Adição e Subtração de Frações

Aprendemos que para adicionar duas frações, com o mesmo denominador, basta manter o denominador e somar os valores dos numeradores.

Por exemplo,

2 5 2 5 7 3 3 3 3 ± ± = =

Agora, para trabalhar com variáveis, o procedimento é o mesmo, como podemos ver no exemplo abaixo:

a b a b c c c ± ± =

PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO

Profa. Lena Bizelli

As variáveis comportam-se exatamente como números na adição e subtração de frações.

Assim, quando tiver que trabalhar com variáveis em um problema qualquer, pergunte-se como você o resolveria se, ao invés de variáveis, existissem números no problema. Então, resolva o problema com variáveis da mesma maneira.

Como exemplo, suponha que você precise resolver o seguinte problema:

( ) 0 e 0 a b c d c d ± ≠ ≠

Nesse caso, não seria possível resolver o problema, como no exemplo anterior, pois o denominador das frações não é o mesmo. Pense então, como resolver o problema com números ao invés de variáveis, ou

seja, como calcular a soma

2 4 3 5 ± ?

Para fazer isso, primeiramente é necessário encontrar o menor denominador comum (mínimo múltiplo comum) e converter as frações para, em seguida, efetuar a soma como visto anteriormente.

O mínimo múltiplo comum entre 3 e 5 é 15 e, portanto, temos que:

2 4 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 3 5 3 5 5 3 3 5 5 3 3 5 3 5 3 5 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ± ⋅ ± = ⋅ ± ⋅ = + = ± = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Agora, você já está pronto para resolver o problema inicial

a b c d ± . Nesse problema, você tem um a no lugar do 2, um c no lugar do 3, um b no lugar do 4 e um d no lugar do 5. Assim, repetindo os mesmos

passos seguidos para calcular a soma

2 4 3 5 ± você terá a solução para o problema inicial, ou seja, calcular a

soma

a b c d ± .

Assim, temos que:

a b ad bc c d cd ± ± =

Observe que:

PRÉ-REQUISITOS PARA O CÁLCULO

Profa. Lena Bizelli

Regra no 6: Simplificação de Frações

Para finalizar alguns problemas de Cálculo, as vezes é necessário alguns processos algébricos dentre os quais destaca-se o “cancelamento”. Nesse caso, tenha a certeza de que você sabe como cancelar e quando é que pode fazer isso.

Como Cancelar?

Por exemplo, na fração

4 3

2 2

( 0)

x y

x

x z