Atps Calculo

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO

Campus ABC

Engenharia de Produção – 3º semestre

Sala 25 – bloco C

ATPS

Cálculo III

SÃO BERNARDO DO CAMPO

2013

Índice

Título ------------------------------------------------------------------------- 03

Objetivo ---------------------------------------------------------------------- 04

Introdução ------------------------------------------------------------------- 05

Resumo Teórico ------------------------------------------------------------ 06

Desenvolvimento ----------------------------------------------------------- 09

Conclusão ------------------------------------------------------------------- 14

Referências ------------------------------------------------------------------ 15

 

Título

Atps de Cálculo III.

 

Objetivo

Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à engenharia. Obter condições de identificar, formular e resolver problemas de Engenharia voltados a cálculos, assim como, avaliar o impacto das atividades no contexto dos estudos, bem como, atuação em equipes multidisciplinares.

 

Introdução

Estas atividades visam à ampliação dos conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à engenharia. Cada participante terá a oportunidade de desenvolver seu raciocínio lógico e a realização de trabalhos em grupo, proporcionando a oportunidade das discussões e aprimoramento intelectual.

Contudo, o que se espera é a realização das atividades em que os cálculos de Integrais, serão o foco principal do estudo, verificando seu emprego, sua origem e algumas propostas de desafios. Sendo assim, o que se espera é que o Cálculo de Integrais seja de conhecimento dos estudantes e se tornando futura fonte de pesquisa e agregação de informações.

 

Resumo Teórico

O conceito de Integral estava embutido no método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C) e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C), que foi um grande matemático de sua época atuando na escola de Alexandria. Um dos grandes objetivos da Integral é obter a área de uma figura plana irregular ou volume de um sólido com o formato de um barril.

Os métodos da exaustão consistem em exaurir uma figura dada por meio de outras com áreas e volumes conhecidos tendo o caso mais conhecido o famoso problema da quadratura do círculo, isto é, obter um quadrado com a mesma área de um círculo de raio r dado.

Uma das primeiras aproximações para a área do círculo é dada pela área do quadrado inscrito no círculo. Com a adição de quatro triângulos isósceles convenientes, teremos o octógono regular inscrito no circulo onde sua área fornece uma aproximação melhor à área do círculo, como podemos observar na figura.

(Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.htm)

Se continuarmos com o processo de acrescentar novos triângulos poderemos tomamos um polígono regular de 16 lados. Tendo em vista a figura geométrica acima, temos a impressão que chegamos ao limite do círculo, embora é de ciência que existem algumas áreas que ainda não foram cobertas.

Arquimedes utilizou um processo parecido, porém, com polígonos inscritos e circunscritos calculando a área do círculo de raio unitário mostrando que a área A = π (PI) compreendido entre:

→ 3 +10/71 = 3,140845 < A < 3 + 1/7 = 3,142857

A grande questão deste método é que em cada novo cálculo realizado haverá a necessidade de um tipo particular de aproximação. Podemos citar com exemplo a área de uma região localizada no segmento de uma parábola ACB.

(Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.htm)

Arquimedes desenvolveu o problema utilizando primeiro a aproximação do triângulo ABC, em que C será tomado de modo que a reta tangente à parábola que passa pelo ponto C seja paralelo à reta AB.

Após um longo período e várias tentativas os cientistas Isaac Newton (1642-1727) e Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) desenvolveram o Cálculo Diferencial e Integral, visto que ao longo dos séculos XVI e XVII várias idéias e métodos foram surgindo, foi então que a percepção de certos casos de cálculos levaram os cientistas abandonarem o método de exaustão e formarem os primeiros conceitos de integral, onde a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.

(Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/integral/integral.htm)

O conceito de integral foi à descoberta conceitual mais importante dos últimos tempos, porém, a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada conhecida pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo.

O francês Augustin Louis Cauchy (1789-1857) já havia feito à primeira tentativa de desenvolver o conceito preciso da Integral por volta de 1820, contribuindo mesmo que de forma incompleta para o inicio da fundamentação do teorema. Em meados de 1854, o matemático alemão Bernhard Riemann (1826-1866) realizou um estudo com mais profundidade sobre o assunto tendo