Atps Calculo

UNIDADE II: FACULDADE ANHAGUERA DE BELO HORIZONTE

ENGENHARIA CIVIL

ATPS CÁLCULO III

ETAPAS 1 E 2

Andrea Freitas Gonçalves- RA: 4610901847

Andreia Eliza de Melo – RA: 4837917903

Deidson Antônio de Souza Andrade – RA: 4617905614

Emerson Amaro Rodrigues – RA: 4473913160

Nilson Rodrigues dos Sousa - RA: 4611902147

Thais Cristina Oliveira– RA: 4611898416

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Professor: ROBERTO MARTINS Sala: 310 Turma: A - Período Noturno

Belo Horizonte, 19 de setembro de 2013

ETAPA 1

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

História da Integral

O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Hoje, o uso do termo quadratura não mudou muito: matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um problema a uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral. No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano1 e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração. Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas não podem segundo outra.A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

Integral definida

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva: Seja f uma função contínua definida no intervalo [a,b]. A integral definida desta função é denotada como:

Em linguagem matemática

Em Português

S é a integral da função , no intervalo entre a e b. é o sinal da integral, é o integrando e os pontos e são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.

Onde é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com ) e com imagem no conjunto dos números reais

A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Isto porque intuitivamente a integral de pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base tendendo a zero e altura , onde o produto é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

Integral indefinida

Integral indefinida é uma função (ou família de funções), assim definida:

se e somente se , ou, o que é a mesma coisa,

Relação entre integral definida e indefinida A integral definida é um número; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções. A conexão entre elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Se for contínua em [a,b], então:

Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a,b], resulta no valor da integral definida.

Cálculo de Áreas

Conhecer sobre área é conhecer sobre o espaço que podemos preencher em regiões poligonais convexas – qualquer segmento de reta com extremidades na região só terá pontos pertencentes a esta.

O cálculo de áreas tem muita aplicabilidade em diferentes momentos, seja em atividades puramente cognitivas, ou até mesmo trabalhistas. Um exemplo de profissional que faz uso dessa ferramenta para tornar possível o desempenho do seu trabalho é o pedreiro. É através do conhecimento de área que é possível estimar a quantidade de cerâmica necessária para pavimentar um determinado cômodo de uma casa, por exemplo.

O quadrado O quadrado é uma figura geométrica plana regular em que todos os seus lados e ângulos são iguais. Veja um exemplo de quadrado na figura a seguir:

Para calcular a área de um quadrado basta que se multipliquem dois dos seus lados l entre si.

O retângulo O retângulo é uma figura geométrica plana cujos lados opostos são paralelos e iguais e todos os ângulos medem 90º. Confiram o retângulo abaixo:

Para calcular a área do retângulo, basta que se multipliquem seu comprimento c pela largura l.