Atps Calculo 1e2

Etapa 3

Passo 1

Faça a leitura do capitulo 1- Seção 1.4 do PLT e elabore um texto explicando a utilização dos logaritmos

John Napier (ou Nepper) foi o primeiro a publicar um trabalho sobre logaritmos, em 1614. O seu trabalho consistia em transformar as operações de multiplicação, divisão e radiciação em adições e subtrações usando as propriedades das potências. Com esse trabalho, Napier conseguiu impressionar Henry Briggs, professor em Oxford, e juntos (em 1615) discutem a possibilidade de aperfeiçoarem o método. Decidem preparar novas tabelas que teriam os logaritmos com base 10. Esse trabalho foi concluído por Briggs, pois Napier veio a morrer em 1617. Daí para frente percebe-se a utilidade dos logaritmos nos cálculos numéricos, razão pela qual estaremos, neste nosso próximo capítulo, estudando um pouco de Logaritmo.

1. Definição

Dados os números reais N, a e α com N > 0, a > 0 e a ≠ 1, dizemos que  é o expoente que colocamos em a para obtermos o número N. α é chamado logaritmo de N na base a.

Logan=∝=a∝=n

Em que a nomenclatura usada é a seguinte:

N – logaritmando ou antilogaritmo

a – base

∝ – logaritmo

Exemplos

1) log2 16 = 4, pois 24 = 16

2) log3 9 = 2, pois 32 = 9

3) 4 = – 1, pois = 4

4) log7 1 = 0, pois 70 = 1

5) log3 (–9) não existe expoente que se coloque no 3 para obtermos resultado igual a (–9).

6) log(–2) 8 não existe expoente que se coloque no (–2) para obtermos resultado igual a 8.

7) log1 12 não existe expoente que se coloque no 1 para obtermos resultado igual a 12.

Exemplos Resolvidos

1o exemplo

Determinar o valor de 32

Fazendo 32 = β, podemos aplicar a definição:

= 32.

Passamos a ter uma equação exponencial, com resolução conhecida:

(2–2)β = 25 2 –25 = 25 – 2 β = 5

=

2o exemplo

Determinar o valor de log3.

Fazendo log3 = , podemos aplicar a definição de logaritmo: = .

Agora é só resolver essa equação exponencial:

Propriedades dos logaritmos

1- Log (AB) =logA+logB 1- lnAB= lnA + lnB

2- logAB=logA – logB 2-lnAB=lnA - lnB

3- LogAp=p log A 3-lnAp=p ln A

4- Log10x=x 4-lnex=x

5- 10logx=x 5-elnx=x

Quando a base do sistema de logaritmo é igual a 10, usamos a expressão.

Logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logn ao invés de log10n. Assim é que quando escrevemos logn = x, devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = n.

Existe também um sistema de logaritmo chamado neperiano (em homenagem a John Napier matemático escocês do século XVI, invento do logaritmo), cuja base é o numero irracional e= 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logem = lnm. Este sistema de logaritmo, também conhecido como sistema de logaritmo natural, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplo de uso dos logaritmos:

1- Encontre t tal que 2t=7

Log(2t) =log7=t( log 2)=log7=t=log7log2=0,84510,3010=2,81

Então 2 t=7=2,81]

Uma grande diferencia entre y= 10x e y=x é que a função exponencial cresce muito rapidamente, enquanto a função log cresce muito lentamente. No entanto, log x tende a infinito, embora lentamente, quando x cresce ilimitadamente. Como y= logx e y= 10x são funções inversas, os gráficos dessas duas funções são reflexões outra em relações à reta y=x, desde que as escalas nos eixos dos x e dos y sejam iguais.

Passo 2

Desenhe o gráfico de uma função logaritma do tipo LOG(X) e LN(X). Qual a diferença entre esses dois logaritmos¿ Escolha um exemplo para ilustrar sua resposta.

Etapa 4

Passo 1

Leia o capítulo 1 – Seção 1.7 e o capitulo 2 – seções 2.1 e 2.2 do PLT, pesquise e elabore um texto explorando o conceito de limites, suas propriedades, continuidade de funções e limites no infinito.

CONCEITO DE LIMITE

Na matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, e "E" tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

DEFINIÇÃO

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo δ , tal que para |x - x0| <δ , se tenha |f(x) - L | <ε , para todo x  x0 .

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo: lim f(x) = Lx x0

Exemplo: Prove, usando a definição de limite vista acima, que: lim (x + 5) = 8 x 3.

Temos no caso: f(x) = x + 5 x0 = 3L = 8.

Com efeito, deveremos provar