Atps Calculo 2

FACULDADE ANHANGUERA LIMEIRA

CALCULO II

1 .INTRODUÇÃO CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO

A derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma curva e fisicamente, como uma taxa de variação. Como derivadas podem ser usadas para representar tudo, desde a variação de taxas de juros até taxas em que peixes morrem e moléculas de gás se movimentam, elas têm implicações em todas as ciências.

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função a medida que o seu argumento se aproxima de um determinador valor, assim como o comportamento de uma sequencia de números reais, a medida que o índice(da sequencia) vai crescendo, tende para infinito. Os limites são usados no calculo diferencial e em outros ramos da analise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

ETAPA 1

Passo 1

Pesquisar o conceito de velocidade instantânea a partir do limite, com ∆t →0.

Comparar a fórmula aplicada na física com a fórmula usada em cálculo e explicar o significado da função v (velocidade instantânea), a partir da função s (espaço) utilizando o conceito da derivada que você aprendeu em calculo, mostrando que a função velocidade é a derivada da função espaço.

Dar um exemplo, mostrando a função velocidade como derivada da função do espaço, utilizando no seu exemplo a aceleração como sendo números escolhidos aleatoriamente.

Como sabemos existem muitas maneiras de descrever quão rapidamente algo se move: velocidade média e velocidade escalar média, ambas as medidas sobre um intervalo de tempo Δt. Entretanto, a expressão “quão rapidamente” mais comumente se refere à quão rapidamente uma partícula está se movendo em um dado instante – sua velocidade instantânea ou simplesmente velocidade v.

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzindo-se.

O intervalo de tempo Δt, fazendo-o tender a zero. À medida que Δt é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante:

v=lim∆t→0∆x∆t= dxdt

Esta equação mostra duas características da velocidade instantânea v. Primeiro v é a taxa na qual a posição da partícula x está em relação à t. Segundo, v em qualquer instante é a inclinação da curva (ou coeficiente angular da reta tangente á curva) posição-tempo da partícula no ponto representando esse instante. A velocidade é outra grandeza vetorial, e assim possui direção e sentido associados.

Em cálculo a velocidade instantânea é o número a que tendem as velocidades médias quando o intervalo diminui de tamanho, isto é, quando h torna-se cada vez menor. Definimos então, velocidade instantânea = Limite, quando h tende a zero, de sa+h-s(a)h.

Isso é escrito de forma mais compacta usando a notação de limite, da seguinte maneira:

Seja s(t) a posição no instante t. Então, a velocidade instantânea em t = a é definida como:

velocidade instantânea em t=a= limh→0sa+h-s(a)h

Em palavras, a velocidade instantânea de um objeto em um instante t = a é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a.

As equações utilizadas tanto em física como em calculo seguem a mesmo logica, sendo que em física utilizamos a derivada para descrever a posição da partícula dado sua posição

Em relação ao seu tempo expressado por dx (t)dt t=t0 em que dx e a denotação da função posição ou espaço e t a denotação da função tempo.

Exemplo: x = 8t² - 2t no tempo em 1 segundo.

v= dxdt 8t2-2t

Derivando posição em relação ao tempo: v=8.2t2-1-2.1t1-1 → v= 16t-2

Aplicando no tempo igual a 1 segundo: v= 16.1-2 → v=14 m/s

Derivando velocidade em relação ao tempo: a= dvdt 16t-2 → a= 16.1t1-1 → a=16

A aceleração não varia em nenhum instante.

Passo 2

Montar uma tabela, usando seu exemplo acima, com os cálculos e plote num gráfico as funções S(m) x t(s) e V(m/s) x t(s) para um intervalo entre 0 a 5s, diga que tipo de função você tem e calcular a variação do espaço percorrido e a variação de velocidade para o intervalo dado. Calcular a área formada pela função da velocidade, para o intervalo dado acima.

S(m) S(m) x t(s) V(m/s) x t(s)

0 0m -2 m/s 16 m/s²

1 6m 14 m/s 16 m/s²

2 28m 30 m/s 16 m/s²

3 66m 46 m/s 16 m/s²

4 120m 62 m/s 16 m/s²

5 190m 78 m/s 16 m/s²

TEMPO X=8t²-2t dxdt=16t-2 dvdt=16

Passo 3

Pesquisar sobre a aceleração instantânea de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.

Explicar o significado da aceleração instantânea a partir da função s (espaço), mostrando que é a aceleração é a derivada segunda.

Utilizar o exemplo do Passo 1 e mostrar quem é a sua aceleração a partir do conceito de derivação aplicada a sua função espaço e função velocidade.

Quando a velocidade de uma partícula varia diz-se que a partícula sofre aceleração, para sabemos como ela esta variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relação ao tempo sendo: a= dvdt, pois a aceleração da partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v(t) naquele ponto. Em palavras, a aceleração de uma partícula em qualquer instante é dada pela derivada segunda de sua posição x(t) em relação ao tempo a= dxdt= ddt dxdt= d²xdt².

Derivando velocidade em relação ao tempo: a= dvdt 16t-2