Atps Calculo 2

INTRODUÇÃO

As informações a seguir explicitarão uma observação mais aprofundada sobre o conceito de derivadas e suas aplicações inseridas em várias áreas como física, biologia, economia, comércio, indústria, engenharia e etc., onde são muitas as situações em que aplicação de derivada para soluções de problemas.

Outra observação mais aprofundada sobre o conceito de derivação e um olhar mais amplo sobre a constante de Euler (e), que é muita usada, mas que muitas vezes assumi um papel oculto dentro do próprio cálculo matemático e que por sua vez está presente em diversas áreas como a engenharia e esta ligada a vários fenômenos naturais.

Podemos ressaltar a inserção de derivadas em situações do cotidiano no campo da engenharia, onde são muitas as aplicações para soluções problemas que se fazem presente. Além da engenharia, economistas e administradores usam regras de derivação para análise das funções marginais e tomadas de decisões.

1 CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO (parte 1)

1.1 Passo 1

Para se introduzir velocidade instantânea é necessário que haja uma breve conceituação de trajetória, deslocamento e distância percorrida para que associada a um intervalo de tempo nos determine a velocidade. Dependo do tipo de conceituação dos anteriores a velocidade pode ser chamada de velocidade instantânea ou apenas velocidade média. A velocidade possui uma aceleração, e aceleração também pode ser média ou instantânea dependendo de suas premissas conceituais, e usando o conceito de aceleração e velocidade instantânea podemos obter sua fórmula em derivada

A velocidade instantânea é definida a partir do conceito de deslocamento, pois o espaço usado para medir a velocidade é pequeno e pode ser considerado em linha reta, o que determina como velocidade instantânea é o tempo que é pequeno e por isso é considerado um instante. A fórmula para determinar a velocidade instantânea deriva a partir do intervalo de tempo que é considerado instante, ou seja, é dito que tende a zero sendo assim possui um limite, assim como na fórmula a seguir:

V(t)=lim┬(∆t→0)⁡〖((x(t+∆t)-x(t))/∆t)^n 〗

Esse limite (lim) define a derivada da posição com relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a posição da partícula neste dado instante. Logo, a velocidade instantânea num dado instante t_0 é expressa através da derivação da equação de Torricelli, assim temos:

S=S_0+V_0 t+(a*t²)/2

ds/dt=V_0+a*t

A expressão final é denominada função horária da velocidade. Ela nos permite determinar a velocidade escalar num instante t qualquer, exemplo:

A função horária do espaço de um móvel é dada por s(t)=2t²+4t. Obter a velocidade escalar do móvel num instante t.

Resolução:

v=ds/dt→v=2*2t^(2-1)+1*4t^(1-1)

Sendo assim:

■(v=ds/dt=4t+4@v=ds/dt=4*12+4@v=ds/dt=52m/s)

Sendo t=12 (somatória dos últimos algarismos dos RA’s dos integrantes do grupo).

1.2 Passo 2

Gráfico da função horária do espaço de um móvel para um intervalo entre 0 à 5s, como mostra a tabela 1 e a gráfico 1 respectivamente.

t (s) s(t)=2t²+4t

0 0

1 6

2 16

3 30

4 48

5 70

Gráfico 1 – Função horária do espaço.

Gráfico da função horária da velocidade de um móvel para um intervalo entre 0 à 5s, como mostra a tabela 2 e a gráfico 2 respectivamente.

t (s) v(t)=4t+4

0 4

1 8

2 12

3 16

4 20

5 24

Tabela 2 – Função horária da velocidade.

Gráfico 2 – Função horária da velocidade.

1.3 Passo 3

A aceleração média é definida a partir do conceito de velocidade. A aceleração média indica o quanto à velocidade de um corpo variou no intervalo de tempo correspondente. Logo, define-se a aceleração média como sendo a razão entre a variação da velocidade e o intervalo de tempo. O conceito de aceleração instantânea, ou simplesmente aceleração, é definido similarmente à aceleração média, com a diferença que ∆t é tomado como sendo infinitamente pequeno, reduzindo-se a um instante de tempo. Logo, a aceleração média torna-se a aceleração naquele instante. Através da derivação da equação de Torricelli duas vezes temos:

■(S=S_0+V_0 t+(a*t²)/2@ds/dt=V_0+a*t@dv/dt=a^' (t)=a)

Com base no exemplo anterior onde a função s(t)=2t²+4t e v=ds/dt=4t+4 logo a aceleração ficaria assim:

■(a=dv/dt=4t^(1-1)+4@a=dv/dt=4)

1.4 Passo 4

Gráfico da função horária da aceleração de um móvel para um intervalo entre 0 à 5s, como mostra a tabela 3 e a gráfico 3 respectivamente.

t (s) a (t)=4

0 4

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

Gráfico 3 – Função horária da aceleração.

2 CONCEITO DE DERIVADA E REGRAS DE DERIVAÇÃO (parte 2)

2.1 Passo 1

Uma