Atps Calculo 2

Etapa 1 - Conceito de Velocidade Instantânea

Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois

instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v(t1,t2) para o módulo dessa velocidade média.

Por outro lado, concluímos que o módulo da

Velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtida a partir do segmento de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes de tempo t1 e t2.

O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.

Por exemplo, t1. E escrevemos v(t1) para o módulo dessa velocidade instantânea.

Podemos pensar que o módulo da velocidade instantânea v(t1) é o valor do módulo da velocidade média v(t1,t2) quando t2 é tomado muito próximo de t1.

Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v(t1) pode ser feito

como o cálculo do módulo da velocidade média v(t1,t2), desde que o segmento de reta secante seja substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo.

(Fig.17). Assim, para calcular o módulo da velocidade instantânea no instante de

tempo t1 podemos seguir os seguintes passos:

• Assinalamos, no gráfico, o ponto P, que corresponde ao instante de tempo t1

considerado.

• Traçamos um segmento de reta tangente ao gráfico passando pelo ponto P.

• Construímos um triângulo retângulo, como o triângulo ABC, tendo esse

segmento de reta tangente como hipotenusa. Os catetos são tomados paralelamente aos eixos.

• Estabelecemos, pela observação direta do desenho, o valor de _x, o

comprimento do segmento BC, e o valor de _t, o comprimento do segmento AC.

• Calculamos o cociente de _x por _t e o resultado é v(t1), o módulo da

velocidade instantânea no instante de tempo considerado.

Os lados do triângulo podem ter quaisquer dimensões, desde que o triângulo

resultante seja retângulo e a hipotenusa seja tangente ao gráfico. Contudo, como o

módulo da velocidade instantânea é calculado pelo cociente das dimensões dos catetos e como essas dimensões são medidas com uma régua, para minimizar os

erros associados a esse processo de medida, é conveniente que esses lados não sejam muito pequenos.

Exemplo:

Vamos calcular o módulo da velocidade instantânea do centro de massa do

volante do experimento que estamos considerando nos instantes t = 2s, t = 4s, t = 6s e t = 8s usando o procedimento descrito acima (Fig.18).

Como sabemos, no procedimento experimental através do qual obtivemos os

dados, o centro de massa do volante estava parado no instante inicial e, por isso,

podemos escrever: v(0) = 0

Com os valores obtidos acima para os módulos das velocidades instantâneas,

podemos montar a tabela que segue.

Cada par de valores de cada coluna dessa tabela, ou seja, a cada instante de

tempo e o correspondente módulo da velocidade instantânea do centro de massa do

volante, corresponde um ponto no gráfico do módulo da velocidade instantânea em

função do tempo (Fig.19). Na figura, os pontos são representados por um pequeno

quadrado.

Os cinco pontos representados na figura correspondem aos módulos das

velocidades instantâneas obtidas a partir do gráfico posição x tempo. Mas o módulo da velocidade do centro de massa do volante aumenta gradativamente a partir do zero e, por isso, podemos desenhar uma curva contínua que passa mais ou menos por esses cinco pontos. Além disso, como o movimento do centro de massa do volante não apresenta irregularidades, é razoável supor que essa curva seja suave. Aqui, desenhamos uma reta porque esse resultado já é bem conhecido na literatura. De qualquer forma, desenhando o gráfico posição x tempo em papel milimetrado,

tomando um número maior de instantes de tempo para calcular o módulo da

velocidade instantânea e marcando, também em papel milimetrado, os pontos que

representam os resultados, podemos verificar que o gráfico do módulo da velocidade

instantânea em função do tempo é realmente uma reta.

O procedimento pelo qual obtivemos os módulos das velocidades instantâneas

do centro de massa do volante começa com o traçado de segmentos de reta tangente ao gráfico posição x tempo. Esse traçado é feito conforme o olhar do sujeito que traça e envolve erros que não podem ser evitados. E esses erros afastam o valor calculado do valor verdadeiro. Por isso, a reta que representa o gráfico do módulo da velocidade instantânea em função do tempo pode não passar pelos pontos determinados. Como os erros devem ser aleatórios, ou seja, algumas vezes levam a valores maiores e algumas vezes levam a valores menores do que os valores verdadeiros, o gráfico deve passar mais ou menos por entre os pontos.

De qualquer modo, devemos considerar não os pontos, mas a reta assim

desenhada como representando verdadeiramente o módulo da velocidade instantânea do centro de massa do volante em função do tempo.

Exemplo: ∑ do ultimo algarismo do RA dos alunos do grupo.

X=2+5T+16,5T² - Somatória do RA = 33

Função