Atps Calculo

Para analisar o movimento de certo corpo em determinado instante é preciso escolher pequenos intervalos de tempo aplicando o conceito de velocidade média. Ao escolher intervalos de tempo cada vez menores as velocidades médias tende a ficar logo abaixo ou logo acima de um limite.

Sabendo que ∆t = t1 – t0 logo t1 = t0 + ∆t e também ∆s = s(t1) – s(t0) = s(t0 + ∆t) – s(t0), teremos então a fórmula vm= ∆s/∆t = s(t0 + ∆t) – s(t0) / ∆t, que corresponde à fórmula usada em calculo para achar a derivada de uma função qualquer a partir do conceito de limites f’(x)=lim h-0 f(x+h) – f(x) / h.

Utilizando o conceito de derivação podemos verificar que a função velocidade é a derivada da função espaço, considerando como exemplo um corpo com aceleração de 14m/s2, resultante da soma dos RA’s temos:

S(t) = s0 + v0.t + at2/2

S(t) = 0 + 0.t +14t2/2

S(t) = 7t2

Logo a derivada da função espaço é:

S’(t) = lim∆t-0 [7(t+∆t)2 – 7t2] / ∆t

S’(t) = lim∆t-0 [7(t2+2t.∆t+∆t2) – 7t2] / ∆t

S’(t) = lim∆t-0 [7t2+14t.∆t+7∆t2 – 7t2] / ∆t

S’(t) = lim∆t-0 [14t.∆t+7∆t2] / ∆t

S’(t) = lim∆t-0 [∆t(14t +7∆t)] / ∆t

S’(t) = lim∆t-0 14t +7∆t

S’(t) = 14t +7x0 = 14t

S’(t) = 14t

Tabela das funções

S(t) = s0 + v0.t + at2/2

T(s) S(m) = S(t) = 7t² V(m/s) = S’(t) = 14t a(m/s²) = S’’(t) = 14

0 0 0 0

1 7 14 14

2 28 28 14

3 63 42 14

4 112 56 14

5 175 70 14

Gráfico da função espaço, S(m) x t(s).

Gráfico da função velocidade, V(m/s) x t(s)

A partir das funções espaço e velocidade podem-se achar variações de velocidade e espaço. Usando o exemplo anterior e levando em consideração o intervalo de 0 a 5s temos:

S(t) = 7t2

S(t) = 7x52

S(t) = 175m

Logo o espaço percorrido no intervalo de tempo de 0 a 5s foi de 175 metros.

S’(t) = 14t

S’(t) = 14x5

S’(t) = 70m/s

Logo a velocidade instantânea no instante 5s foi 70 m/s.

1.2 Aceleração instantânea

Diz-se que um corpo está acelerado quando a velocidade deste varia. A aceleração