Atps Calculo 3

Etapa 4

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.

Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de cálculo do volume de um sólido de revolução. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração no cálculo de volume.

Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular o volume de um sólido de revolução e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

Passo 2 (Equipe)

Desafio A

A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada por:

y=4√x de 1/4≤x≤4 é: 2π/3∙(128√2-17√17)u.a.

Está correta essa afirmação?

Resolução:

A fórmula para área de revolução nesse caso:

Árear:2π∫_(1/4)^4▒〖y√(〖f'(x)〗^2+1) dx〗

f(x)=y=4√x

f'(x)=4x^(1/2)=2x^(-1/2)

Substituindo:

Árear: 2π∫_(1/4)^4▒〖4√x √((2x^(-1/2) )^2+1) dx〗

Árear: 2π∫_(1/4)^4▒〖4x^(1/2) √((2x^(-1/2) )^2+1) dx〗

Árear: 2π∫_(1/4)^4▒〖4x^(1/2) √((4x^(-1) )+1) dx〗

Árear: 2π∫_(1/4)^4▒〖4x^(1/2) √((4+x)/x) dx〗

Árear: 2π∫_(1/4)^4▒〖4x^(1/2)∙〖(4+x)〗^(1/2)/x^(1/2) dx〗

Árear: 2π∫_(1/4)^4▒〖4∙〖(4+x)〗^(1/2) dx〗

Árear: 2π∙├ [4∙〖(4+x)〗^(3/2)∙2/3+c]┤| 4¦(1/4)

Árear: 2π∙├ [8/3∙〖(4+x)〗^(3/2)+c]┤| 4¦(1/4)

Árear: 2π∙{8/3 [〖(4+4)〗^(3/2)+c-(〖4+1/4)〗^(3/2)-c]}

Árear: 2π∙{8/3 [√(8^3 )-√((〖17/4)〗^3 )]}

Árear: 2π∙{8/3 [16√2-(17√17)/8]}

Árear: 2π∙{(128√2)/3-(17√17)/3}

Árear:2π/3 {128√2-17√17}u.a.

Logo, a afirmação é correta.

Desafio B

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y = 2 , da região R delimitada pelos gráficos das equações: y = sen x , y = (sen x)3 de x = 0 até x=π/2 ?

3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.